Олег Деревенец - Песни о Паскале

Для таких вычислений математики придумали особую функцию – логарифм (не путайте её с рифмой, ритмом и алгоритмом!). Логарифмы бывают разные: десятичные, натуральные и прочие. Нам интересен двоичный логарифм, который по-научному называется так: «логарифм числа N по основанию два». Математики записывают его следующим образом:

Log 2N

Связь между числом N и его двоичным логарифмом легко проследить на следующих примерах. Слева представлено разложение на множители нескольких чисел, а справа – двоичные логарифмы этих же чисел.

4 = 2 • 2 Log 24 = 2

16 = 2 • 2 • 2 • 2 Log 216 = 4

64 = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 • 2 Log 264 = 6

Итак, двоичный логарифм числа равен количеству двоек (ой, нехорошее слово!), перемножаемых для получения этого числа. Например, для получения числа 8 надо перемножить три двойки, и его логарифм равен трем. Кстати, для получения единицы из восьмерки, её тоже «пилят» пополам трижды. Значит, оба способа вычисления логарифма – через умножение, и через деление – равноценны.

Если вы завтра же не забросите программирование, то табл. 8 с логарифмами нескольких чисел ещё пригодится вам.

Табл. 8 – двоичные логарифмы некоторых чисел

По таблице можно оценить как среднее, так и худшее время двоичного поиска: среднее время равно двоичному логарифму от размера массива, а худшее – на единицу больше.

А как определить логарифмы других чисел, например, числа 50? Поскольку оно лежит между 32 и 64, его логарифм должен быть где-то между 5 и 6? Так оно и есть: логарифм 50 равен приблизительно 5,64 (это я на калькуляторе посчитал). Но, поскольку мы применяем логарифмы для подсчета шагов поиска, то погрешностью в доли шага можно пренебречь. К чему мелочиться? Будем считать, что логарифм числа 50 тоже равен 6. Мало того, назначим это значение логарифма всем числам в промежутке от 33 до 64.

На рис. 93 сопоставлен рост числа с ростом его логарифма. Когда число увеличивается вдвое, его логарифм возрастает лишь на единицу. Вот почему с ростом размера массива время двоичного поиска растет так медленно (что очень радует нас!).

• Компьютерные базы данных (БД) содержат разнородную информацию, отдельные элементы которой связаны общим индексом.

• Поиск в массиве состоит в определении индекса искомого элемента; зная индекс, можно извлечь всю прочую информацию о нужном объекте.

• Для поиска применяют два способа: последовательный перебор и двоичный поиск.

• Последовательный перебор (линейный поиск) очень прост, но время поиска пропорционально размеру массива, что для больших объёмов данных бывает неприемлемо.

• Двоичный поиск очень быстр, – с ростом размера массива затраты времени на поиск растут по логарифмическому закону. Однако, двоичный поиск работает только в отсортированных массивах.

А). Будет ли линейный поиск работать быстрее в сортированном массиве? Проверьте на практике.

Б) Сколько шагов двоичного поиска потребуется в массиве из миллиона элементов? А из миллиарда? Сравните с трудоемкостью линейного поиска.

В) Напишите полицейскую базу данных, содержащую номера автомобилей и сведения о владельцах. Данные должны вводиться из файла, каждая строка которого содержит номер автомобиля и сведения о владельце, например:

123 Горбунков С.С., ул. Тепличная, д. 21, тел. 11-22-33

35 Стелькин И.Н., ул. Тенистая, д. 5, тел. 33-22-11

Примените массивы и учтите опыт обработки классного журнала.

Г) Отсортируйте полицейскую базу данных и напишите программу для двоичного поиска в ней.

Д) Папа Карло опасался Буратино, и прятал спички в сейфе. Код замка из четырех цифр он доверил лишь своему приятелю – честному малому Джузеппе, который не поддавался ни на какие уговоры деревянного мальчишки. Тогда тот пустился на хитрость. Ладно, – предложил Буратино, – не можешь открыть мне код, – не надо. Давай тогда в игру сыграем: я буду спрашивать, а ты отвечай только «да» или «нет». Первый вопрос был таким: код замка больше 5000? Через несколько минут Буратино уже рылся в папином сейфе. Сделайте программу для быстрого угадывания числа методом Буратино. Роль Буратино (угадывающего) должен исполнять компьютер.

Наше новейшее открытие – быстрый, как ракета, двоичный поиск. Но работает он лишь в сортированном массиве. Так в чем вопрос? Разве сортировка «пузырьком» нам не покорилась? Увы! «Пузырек» насколько же нетороплив, насколько и прост. Много ли проку от быстрого поиска, если выигрыш времени съест сортировка? Так ускорим её!

Отчего так медленно «всплывают пузырьки»? Не оттого ли, что мы сравниваем и обмениваем соседние элементы? Уяснить тонкости сортировки нам поможет правдивая история из жизни двух друзей.

Некий фермер — левша по имени Лефт — удостоился чести поставлять арбузы к столу Его Величества. Желая превзойти конкурентов и сохранить за собой королевский заказ, Лефт решил отбирать из урожая самые крупные ягоды (арбуз — это ягода). Выложив арбузы в длинный ряд, Лефт занялся их сортировкой. Работая в одиночку, он применил единственный доступный ему способ — «пузырёк». После трёх дней мучительных сравнений и перестановок Лефт понял, что без помощника ему не обойтись.

Сортировать урожай следующего года он позвал своего соседа и приятеля по имени Райт. Вдвоем они стали работать новым, придуманным Лефтом способом. Лефт стал у первого арбуза, а его приятель Райт побежал в конец ряда. Оттуда Райт стал продвигаться навстречу Лефту, сравнивая арбузы с тем, у которого прохлаждался Лефт (арбузы взвесили заранее, а вес нацарапали на кожуре). Когда Райт находил арбуз легче того, у которого стоял Лефт, их меняли местами: друзья просто швыряли арбузы друг другу.