Жак Арсак - Программирование игр и головоломок

— либо, как в рассматриваемом случае, вы приходите к цели. Как только этот первый этап пройден, вы спокойно обсуждаете представление данных;

— либо вы не в состоянии добраться до цели вследствие некоторого влияния структуры данных на стратегию. Такое бывает. Когда вы не можете продвинуться дальше в разработке стратегии, тогда начинайте с выбора представления данных, в котором вам послужит все то, что вы уже сделали к этому времени, и вы учтете то, что вас остановило.

Программирование всегда должно идти нисходящим путем. Сначала — алгоритм или стратегия. Потом — структура данных.

Посмотрим, какие структуры данных возможны в нашей задаче. Первая, наиболее естественная идея: я представляю шахматную доску с помощью квадратной таблицы с 8 строками и 8 столбцами. Я ставлю нули на пустые клетки. Чтобы найти свободное поле на строке, я перебираю поле за полем на строке, пока не нахожу поле с нулем. Это просто. Но как теперь занять поле k , c [ k ]? Поместив туда значение k . Это тоже просто. Но ферзь, которого нужно разместить, бьет некоторое количество полей, и их уже нельзя будет в дальнейшем занимать. Чтобы это учесть, нужно записать значение к по всем ранее свободным полям, которые теперь бьет этот новый ферзь. Здесь нужен цикл для занятия полей под ферзем на той же вертикали, а затем два других цикла — для каждой из диагоналей, проходящих через это поле (бесполезно занимать поля строки, потому что строка больше рассматриваться не будет). Это проще всего. Что касается освобождения, то нужно пробежать по шахматной доске и заменить там все значения k нулями. Очень долго…

Но как же иначе? Если что и составляет существенную необходимость, то именно знание, можно использовать поле или нет. Как бы я поступил при работе вручную? Выяснил бы, есть ли ферзи в том же столбце или на диагоналях, проходящих через это поле. Следовательно, мне достаточно знать состояние занятости столбцов и диагоналей. Я могу найти выход с помощью трех таблиц: одна — для столбцов, другая — для левых диагоналей, третья — для правых диагоналей. Чтобы узнать, свободно ли поле, я стану выяснять, свободны ли проходящие через него диагонали и столбец. Чтобы занять поле, я отмечу, что его столбец и диагонали заняты. Чтобы его освободить, я отмечу, что они свободны. Циклов больше нет. Вот хорошее решение.

Таким образом, нужен вектор с 8 полями, чтобы сказать, свободны ли столбцы. Обозначим этот вектор cm . Тогда cm [ i ] = 0 будет означать, что в столбце i нет ни одного ферзя. Его не надо путать с c [ k ], который отвечает на вопрос, в каком столбце стоит ферзь k .

Диагонали характеризуются тем условием, что сумма или разность номеров строки и столбца постоянны. Обозначим через дп диагонали, соответствующие сумме, дм — диагонали, соответствующие разности. В первом приближении диагонали, соответствующие полю k , i , суть дп [ k + i ] и дм [ k − i ].

Но при 1 ≤ k ≤ 8, 1 ≤ i ≤ 8 сумма меняется от 2 до 16, а разность — от −7 до 7. Чтобы остаться в промежутке от 1 до 13 (чего некоторые языки просто требуют), нужно вычитать 1 из суммы и прибавлять 8 к разности, Тогда диагонали, проходящие через k , i , суть дп [ k + i − 1] и дм [ k − i + 8].

Операция «искать первое свободное поле…» реализуется маленьким циклом в программе. Вот — на псевдоязыке, используемом в этой книге и близком к Бейсику, LSE и языку Паскаль, — что из всего этого получается:

ТАБЛИЦА с[8], ст[8], дп[15], дм[15]

k := 1

ДЛЯ j := 1 ДО 8 ВЫПОЛНЯТЬ

ст[j] = 0

ВЕРНУТЬСЯ

ДЛЯ j := 1 ДО 15 ВЫПОЛНЯТЬ

дп[ j ] := 0; дм := 0

ВЕРНУТЬСЯ

С c [ k ] : = 0

И i := c [ k ] + 1

ВЫПОЛНЯТЬ

ЕСЛИ i = 9 ТО КОНЧЕНО

КОНЕЦ_ЕСЛИ

ЕСЛИ ст[ i ] = 0 И дп[ k + i − 1] = 0 И

дм[ k − i + 8] = 0 ТО КОНЧЕНО

КОНЕЦ_ЕСЛИ

i := i + 1

ВЕРНУТЬСЯ

ЕСЛИ i = 9 ТО ПЕРЕЙТИ К СБ КОНЕЦ_ЕСЛИ

СОК c [ k ] := i

ЕСЛИ k = 8 ТО ВЫВЕСТИ c ;

ПЕРЕЙТИ К СБ КОНЕЦ_ЕСЛИ

ст[ i ] := k ; дп[ k + i − 1] := k ;

дм[ k − i + 8] := k ; k := k + 1

ПЕРЕЙТИ К С

СБ k := k − 1

ЕСЛИ k = 0 ТО ПЕРЕЙТИ К Я КОНЕЦ_ЕСЛИ

i := c [ k ]; ст[ i ] := 0; дп[ k + i − 1] := 0;

дм[ k − i + 8] := 0

ПЕРЕЙТИ К И

Я КОНЕЦ_РАБОТЫ

У вас теперь есть все, что только может быть вам нужно для того, чтобы это заработало на вашем компьютере.

Что касается симметрии, то вот указание. Эта программа заставляет первого ферзя пробежать всю первую строку. Но достаточно, чтобы он пробежал половину, а затем дополнить результат по симметрии. Остановить пробег, когда c [1] достигает значения 4, нелегко, но легко начать пробег с цифры 5. Ну, уж теперь-то я сказал вам достаточно…

Я не знаю простого решения для симметрии относительно диагонали. Если вы найдете такое решение, напишите мне…

Головоломка 21.

Я не вижу способа взяться за эту задачу, существенно отличного от предыдущего. Нужно найти нижнюю границу для числа ферзей. На пустой шахматной доске ферзь может блокировать 28 полей. Следовательно, нужно по крайней мере 3 ферзя, чтобы блокировать доску. Их нужно не больше 7: если вы уже пытались вручную поставить 8 ферзей, то вы должны были убедиться, что шахматная доска часто блокируется до того, как мы смогли поставить восьмого ферзя. Точно так же вероятно, что 6 ферзей должно хватить. Поэтому нужно исследовать отрезок от 3 до 6 ферзей.

Нет никакой уверенности в том, что эти ферзи не должны бить друг друга. Конечно, на шахматной доске есть поля, которые бьются по крайней мере двумя ферзями. Но нужно иметь возможность ограничить поиск решениями, для которых никакие два ферзя не бьют друг друга, или, может быть, немного проще — решениями, для которых никакие два ферзя не стоят на одной строке.

Вы размещаете k ферзей. Вы пробегаете шахматную доску в поисках свободного поля. Если его нет, то у вас есть решение. Если свободное поле есть, то вы ставите туда ферзя и начинаете поиск сначала. Бесполезно пробегать строки, на которых ферзь уже есть, Это соображение ускоряет проверку.

Головоломка 22.

Ничего трудного. Нужно перепробовать все комбинации, Берем какую-нибудь шашку домино в качестве начальной шашки цепочки и пробуем шашки одну за другой. Они вынимаются из хранилища, а затем отыскивается первая шашка, которую можно связать с данной, тем же способом, которым отыскивалось первое свободное поле на следующей строке.