Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Так отлично видно, что 3 + 5 = 8, а 7 + 9 + 11 = 27, а 13 + 15 + 17 + 19 = 64. Что общего у 1, 8, 27 и 64? Да это же полные кубы чисел! Например, если сложить между собой пять чисел пятого ряда, мы получим:

Логика вроде бы подсказывает, что сумма чисел в ряду n будет равна n ³. Но насколько верным будет этот вывод? Не простое ли это совпадение? Чтобы лучше понять эту закономерность, посмотрим на числа в середине 1, 3 и 5 рядов. Что мы видим? 1, 9 и 25. То есть квадраты. В середине 2 и 4 рядов чисел нет, но по сторонам центра 2 ряда видим числа 3 и 5, среднее арифметическое которых – 4, а по сторонам центра 4 ряда – 15 и 17 со средним арифметическим 16. Давайте подумаем, как эту закономерность можно использовать.

Снова возьмем 4 ряд. Что мы тут видим? А видим мы, что сумма всех чисел в нем есть 5³ – и не нужно к ним ничего добавлять, чтобы заметить: все они симметрично расположены вокруг 25. Так как среднее арифметическое этих чисел – 5², уравнение преобразуется в 5² + 5² + 5² + 5² + 5² = 5 × 5², то есть 5³. То же справедливо и в отношении 4 ряда: среднее арифметическое всех чисел в нем – 4², их сумма – 4³. Чуть-чуть алгебры (к которой мы здесь не прибегаем), и вы легко сделаете вывод, что среднее арифметическое n чисел ряда n равно n ², а их сумма равна n ³, что и требовалось доказать.

Кстати, если уж мы взялись оперировать квадратами и кубами, не могу удержаться, чтобы не указать вам на еще одну закономерность. Что получится, если сложить кубы чисел, начиная с 1³?

Подсчитывая сумму кубов, мы получаем 1, 9, 36, 100, 225 и т. д. – числа, которые являются полными квадратами. Но это не любые квадраты, а квадраты 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. – треугольных чисел! Мы уже знаем, что они по своей сути являются суммами простых чисел, а значит,

Другими словами, сумма кубов первых n чисел есть квадрат суммы этих самых первых n чисел. Подтвердить это мы пока не можем, но в главе 6 пару доказательств увидим.

Среди читателей наверняка найдутся те, кто, познакомившись с этими примерами, скажет: «Ух ты, здо́рово! Но какая от всего этого польза?» Здесь в любом математике проснулся бы художник, и в ответ вы услышали бы: «Разве нужно красоте оправдание иное, нежели сама красота?» Ведь чем лучше мы понимаем числовые закономерности, тем глубже постигаем их красоту. И все-таки иногда они приносят практическую пользу.

Вот простая закономерность, которую мне посчастливилось обнаружить в юности (даже если я и не был первооткрывателем). Я смотрел на пары чисел, которые в сумме давали 20 (10 и 10, например, или 9 и 11), и думал, а какие из них надо перемножить, чтобы получить наибольшее произведение? Логика подсказывала, что это 10 на 10, и моя схема эта подтвердила.

Эта закономерность была несомненна. Чем дальше отстояли друг от друга числа, тем меньше становилось произведение. И насколько они отдалялись от 100? На 1, на 4, на 9, 16, 25… То есть на 1², 2², 3², 4², 5² и т. д. А потом мне стало интересно, работает ли эта закономерность для чисел, дающих другую сумму. Я решил попробовать 26:

И я снова увидел, что наибольшее произведение дало умножение двух одинаковых чисел. А потом произведение стало уменьшаться с интервалом сначала 1, потом 4, потом 9 и т. д. Еще несколько подобных примеров убедили меня, что закономерность была строгой (ее алгебраическое выражение я покажу чуть позже). Выяснил я и то, что ее можно применять для быстрого возведения чисел в квадрат.

Допустим, нам нужно знать квадрат 13. Вместо того чтобы умножать 13 × 13, можно сделать умножение попроще: 10 × 16 = 160. До правильного ответа уже рукой подать, и чтобы его получить, достаточно будет прибавить возведенное в квадрат 3 – число, составляющее разницу между 13 и числами, которые мы перемножили. То есть:

Можно взять еще один пример, скажем, 98 × 98. Для удобства к первому числу добавим 2 до 100, а от второго отнимем 2 до 96. Значит, к их произведению нужно будет прибавить 2². Вот наше уравнение:

Особенно легко применять эту схему к числам, которые заканчиваются на 5: если уменьшить и увеличить их на 5, оперировать придется круглыми числами. Например:

Теперь попробуем возвести в уме в квадрат 59. Увеличив и уменьшив это число на единицу, получим 59² = (60 × 58) + 1². Но как умножить в уме 60 на 58? Простой совет из двух слов: слева направо. Забудем на время про 0 и подсчитаем 6 × 58: 6 × 50 = 300 и 6 × 8 = 48. Потом сложим эти два результата (опять же, слева направо) и получим 348. И добавим ноль в конце, то есть 60 × 58 = 3480. Поэтому:

А вот алгебраическое доказательство этого метода (перечитайте это отступление после того, как во второй главе мы поговорим о разнице квадратов ):

где A – число, возводимое в квадрат, d – разность с ближайшим круглым числом (формула, кстати, справедлива для любого d ). Для примера возведем в квадрат 59: А = 59, d = 1, значит, формула превращается в (59 + 1) × (59 – 1) + 1², как и в предыдущем вычислении.

Теперь, когда вы профессионально возводите в квадрат двузначные числа, можно попробовать и трехзначные. Если помните, 12² = 144, значит:

Есть еще одна подобная формула, которая работает для любых двух чисел, близких к сотне. Человек, который становится случайным свидетелем таких вычислений, испытывает чувство, будто наблюдает за трюком фокусника. Вот, например, 104 × 109. Рядом с каждым из них пишем число, на которое оно превышает сотню (см. пример ниже). В левом столбце сложим первое число со второй разностью и запишем результат: 104 + 9 = 113. В правом столбце перемножим две разности: 4 × 9 = 36. «Соединим» эти числа, то есть запишем их одно за другим и – тадам! – волшебным образом получим ответ: 11 336.

Другие примеры и алгебраическую формулу такого вычисления я приведу чуть позже, в главе 2. И, раз уж мы об этом заговорили, кое-что еще о вычислениях в уме. Мы тратим уйму времени на то, чтобы научиться считать столбиком, хотя научиться делать это в уме куда быстрее. Задумайтесь: как часто в обычной жизни у нас есть время и возможность достать бумагу и провести все необходимые подсчеты? Для сложных вычислений можно воспользоваться калькулятором, но не будете же вы доставать его в магазине, читая данные об энергетической ценности на упаковке продуктов, или сидя в зале собрания, или дома, включив выпуск экономических новостей. Вот здесь-то, в оценке по-настоящему важных для вас цифр, и становятся очевидными все плюсы устного счета. Увы, в школе нас хорошо учат считать на бумаге, со счетом в уме дела обстоят плохо.