Артур Бенджамин - Магия математики: Как найти x и зачем это нужно

Конечно же, пятью аксиомами, сформулированными Евклидом, геометрия не ограничивается, поэтому не удивляйтесь, если на этих страницах вы найдете и другие. Ну а поскольку эта книга – отнюдь не учебник, мы, пожалуй, не будем тратить время на обстоятельное доказательство прописных истин и объяснение элементарных понятий, тем более с нуля. Я очень высокого мнения о своем читателе и считаю аксиомой, что он помнит со школы (или просто знает), что такое точка, прямая, угол, круг, периметр, площадь и так далее. К тому же я по мере сил буду избегать профессиональной лексики и всяких специфических и понятных, пожалуй, только математику, обозначений – ведь в центре нашего внимания не наука как таковая, но ее магия, способная затронуть струны любой, даже самой далекой от геометрии, души.

Я абсолютно уверен, например, что вы уже знаете (ну или готовы принять на веру), что градусов в любом круге ровно 360 и что обозначается это как 360°. А любой находящийся в этом круге угол, таким образом, будет равен значению от 0° до 360°. Представьте себе стрелки часов, сходящиеся в самом центре циферблата. В час дня или ночи стрелки располагаются так, будто «отрезают» от круга одну двенадцатую – значит, угол между ними равен 30°. В три часа стрелки «отрежут» уже четверть круга

и образуют угол 90° (такой угол называется прямым , а прямые или лучи, которые его образуют, – перпендикулярными друг другу ). Прямая же линия, которую образуют стрелки ровно в шесть часов, образует угол 180°.

А вот одно очень полезное и часто встречаемое на практике обозначение: отрезок прямой, лежащий между точками A и B , выглядит в записи как AB . Если же вам нужно оперировать его длиной, черточку сверху ставить не нужно: длина отрезка AB составляет AB .

Две прямые при пересечении всегда образуют четыре угла. Взгляните на рисунок – что вы видите? Видите, что два прилежащих (смежных) угла ( a и b , например) образуют линию? Такие углы называются дополнительными (потому что дополняют друг друга до 180°, которые нам дает линия).

Это справедливо в отношении всех четырех пар смежных углов, то есть

Если вычесть второе уравнение из первого, получится, что a – c = 0. Следовательно,

А вычитание третьего уравнения из второго приведет нас к

Так у нас получаются еще две пары углов – a и с и b и d , которые называются вертикальными . Ну а теорему вертикальных углов, утверждающую их равенство, мы с вами только что доказали.

Осторожно, двери закрываются! Следующая остановка – доказательство того, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°. Но сначала – несколько фактов о параллельных прямых. Две прямые считаются параллельными, если они никогда – ни на видимом отрезке, ни в бесконечности – не пересекаются. Посмотрите на рисунок: вот две параллельные прямые ( l 1 и l 2 ), а вот – третья прямая ( l 3 ), непараллельная им и, следовательно, пересекающая их в точках P и Q соответственно. Приглядитесь чуть внимательнее: l 3 «разрезает» l 1 и l 2 абсолютно одинаково, под одним и тем же углом, то есть a = e . Углы a и e в таком случае являются соответственными (равно как b и f, c и g, d и h ). Равенство их настолько очевидно, что вполне может считаться аксиоматичным, хотя и не может быть доказано ни одним из пяти евклидовых постулатов. Значит, теперь у нас есть новая аксиома.

Аксиома соответственных углов:Соответственные углы всегда равны.

В соединении с теоремой вертикальных углов аксиома говорит нам, что, согласно рисунку выше,

(Книги по математике в большинстве своем предлагают специальные названия для каждой из возможных пар: углы a и g , например, образующие фигуру, которая напоминает латинскую букву Z, называются внутренними накрест лежащими. ) Эти равенства говорят нам, что любой из этих 8 углов равен своему парному вертикальному, своему парному соответственному и своему парному внутреннему накрест лежащему. Понимание этого нужно нам, чтобы доказать одну из основных теорем геометрии.

Теорема:Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство:Возьмем треугольник ABC (см. рисунок) с углами a, b и c . Через его вершину (то есть точку B ) проведем прямую, параллельную его же основанию (то есть прямой, проходящей через точки A и С ).

Образовавшиеся при этом углы d и e вместе с углом b образуют линию, поэтому d + b + e = 180°. Обратите внимание, что углы a и d и углы c и e при этом являются внутренними накрест лежащими, следовательно, d = a , а e = c , что приводит нас к a + b + c = 180°, что и требовалось доказать.

Теорема о сумме углов треугольника, равной 180°, крайне важна для понимания сути планиметрии. В других же геометрических системах она не работает совершенно: для примера можно спроецировать тот же треугольник на сферу-«глобус», причем так, чтобы он начинался на «северном полюсе», спускался к «экватору» вдоль любой из «линий долготы», там заворачивал направо в первый раз, а после прохождения четверти «планеты» – и во второй, возвращаясь к «северному полюсу». Получившийся таким образом треугольник будет иметь три прямых угла, дающих вместе не 180, а целых 270°. В сферической геометрии сумма углов треугольника есть величина непостоянная: она все больше отдаляется от значения в 180° при малейшем увеличении его площади и находится к ней в прямой пропорциональной зависимости.