Авнер Грейф - Институты и путь к современной экономике. Уроки средневековой торговли

где δ V k,d (λ k, T ; ψ k ) – дисконтированная стоимость среднего выигрыша клана при взаимном сдерживании в следующий период, а δ s k,w (ψ k , ψ — k ) V k,c ( T , θ; ψ k ) – c (1 – δ) – его чистая дисконтированная стоимость, если он станет контролирующим кланом в следующем периоде, с вероятностью того, что он победит в межклановой войне ( s k,w (ψ k , ψ — k )), минус (средние, с учетом временного дисконтирования) издержки войны.

Нас интересует ситуация, в которой это неравенство действительно для обоих кланов и ни один из них не может извлечь выгоду от сокращения инвестиций в военную силу. Чтобы преобладала такая ситуация, должно быть удовлетворено условие VIII.1.

Условие VIII.1

Существует такое (ψ i,d , ψ j,d ), при котором для k ∈ { i, j }:

а) инвестиции осуществимы: ψ k , d ≤ λ k [ I ( T ) + R ( T )];

б) они максимизируют выигрыши: ψ k , d ∈ arg max V k,d (λ k, T ; ψ k ) при условии пункта «в»;

в) достижения сдерживания: ∀ ψ — k ≤ λ —k [ I ( T ) + R ( T )], ψ — k ≥ ψ k,d , δ V — k,d (λ — k, T ; ψ — k,d ) ≥ δ s — k,w (ψ — k , ψ k,d ) V — k,c ( T, θ ) – ( c + (ψ — k – ψ — k,d ))(1 – δ). [ ICC —k ]

Если условие VIII.1 соблюдается, есть осуществимая инвестиция для каждого клана (пункт «а»), являющаяся самой низкой инвестицией (пункт «б»), которая будет удерживать другой клан от вступления в конфронтацию для любой возможной инвестиции другого клана (пункт «в»). Если совершенное в подыгре равновесие со взаимным сдерживанием (λ k, T ) существует, условие VIII.1 будет выполняться.

Если оно выполняется, из этого прямо следует, что такое равновесие существует [255]. В частности, если условие VIII.1 удовлетворяется, следующая комбинация стратегий является равновесием со взаимным сдерживанием (λ k, T ): если конфронтация никогда не происходила, клан k ∈ { i, j } сотрудничает в пиратстве и инвестирует ψ k,d в военную силу. Клан не вступает в конфронтацию, если ψ — k ≥ ψ k,d , а в противном случае – вступает. Ни один из кланов не сотрудничает в пиратстве после конфронтации. Если клан k когда-либо выигрывал в конфронтации, он инвестирует ψ k,c в подготовку к тому, чтобы дать отпор внешней угрозе [256].

Атрибуты эффективности равновесия со взаимным сдерживанием при эндогенном количестве привилегий

Предположим, что доход от привилегий I ( T ) возрастает, а доход от пиратства R ( T ) убывает при количестве привилегий Т . В частности, I ′( T ) ≥ 0 и R ′( T ) ≤ 0. Предположим, что функция I ( T ) + R ( T ) является строго вогнутой и имеет единственный максимум, который представляет собой экономически эффективное количество привилегий τ ∈ (0, T̅ ), I ′( τ ) + R ′(τ) = 0. Таким образом, экономически эффективным равновесием со взаимным сдерживанием является τ . Оптимальное равновесие со взаимным сдерживанием для клана k максимизирует его средние выигрыши, а именно V k,d (λ k, T ; ψ k ).

Предположим, что доход от привилегий I(T) возрастает, а доход от пиратства R(T) убывает при количестве привилегий Т. В частности, T(T) > 0 и R'(T) < 0. Предположим, что функция I(T) + R(T) является строго вогнутой и имеет единственный максимум, который представляет собой экономически эффективное количество привилегий т е (0, T ), I (т) + R' (т) = 0. Таким образом, экономически эффективным равновесием со взаимным сдерживанием является т. Оптимальное равновесие со взаимным сдерживанием для клана k максимизирует его средние выигрыши, а именно V k4(\ k, T; y k).

Чтобы установить, был ли мир достигнут в ущерб торговому процветанию, нам нужно определить, является ли действительное равновесие со взаимным сдерживанием еще и оптимальным равновесием со взаимным сдерживанием для каждого конкретного клана. Другими словами, действительно ли сотрудничество в приобретении экономически эффективного количества привилегий (которое максимизирует общий прирост) является лучшим, что может сделать каждый клан? [257]Если ответ отрицательный, мы можем заключить, что теоретически потребность поддержания в Генуе политического порядка препятствовала экономической эффективности. Затем мы можем использовать модель для выявления источника этой эффективности.

Интересен случай, когда эффективное количество привилегий влечет за собой положительные инвестиции в военную силу. Формально необходимым условием для равновесия со взаимным сдерживанием (X k, T), характеризующимся положительными инвестициями в военную силу, является следующее: существует такая положительная инвестиция для одного клана, которая делает конфронтацию выгодной для него, если другой клан не делает инвестиций, т. е. для k = i или j , ∃ ψ k ≤ λ k [ I ( T ) + R ( T )] такое, что δ s k,w (ψ k ,0) V k,c ( T , θ) – ( c + ψ k )(1 – δ) > δ V k,d (λ k, T ; 0). Это условие с большей вероятностью будет выполняться, если значение θ ниже (когда V k,c возрастает в θ), с ниже или δ выше.

Теорема VIII.1 гласит, что когда эффективное равновесие со взаимным сдерживанием характеризуется положительными инвестициями в военный потенциал, оно максимизирует валовый средний выигрыш клана, но не чистый средний выигрыш [258].

Теорема VIII.1

a) Предположим, что равновесие со взаимным сдерживанием (λ k , τ) существует, равновесные инвестиции кланов в военную силу ψ k,* ( τ ) являются строго положительными (без потери общности), ∂2 s (∙/∂ψ k 2 < 0, и ∂ 2ω(∙)/(∙)/∂ψ k 2> 0 для k = i, j (а именно k = i и k = j ). Тогда чистый средний выигрыш каждого клана максимзируется в τ.

b) Предположим, что равновесие со взаимным сдерживанием (λ k, Т ) существует для каждого Т и потенциальных инвестиций в военную силу ψ k,d ( T ), является строго положительным для k = i, j (без потери общности). Тогда, если оптимальное для клана количество привилегий не равно нулю, его чистый средний выигрыш максимизируется при равновесии со взаимным сдерживанием (λ k, Т *) таком, что T * < τ и λ k ∂ I ( T *)/∂( T ) = ∂ψ — k,d ( T *)/∂ T —λ k ∂ R ( T *)/ ∂ T .

Доказательство. При равновесии со взаимным сдерживанием (λ k, Т ) оптимальные для клана k инвестиции таковы, что ограничение по стимулу в условии VIII.1 ICC -k является обязательным на самой большой осуществимой инвестиции для клана – k , т. е. λ — k [ I ( T ) + R ( T )]. Это локальное обязательное ограничение имплицитно определяет ψ — k как функцию от Т , т. е. ψ — k,d ( T ). Наиболее выгодное для клана k равновесие со взаимным сдерживанием (Т) – это равновесие, которое максимизирует его доход за период при равновесии со взаимным сдерживанием, т. е. H ( T ) = λ k [ I ( T ) + R ( T )] – ψ — k,d ( T ). Условием первого порядка для максимизации является: