Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

В отличие от Евклида и Архимеда, многие сочинения которых переведены на русский язык, из сочинения величайшего античного геометра Аполлония были переведены на русский язык тольки 20 первых предложений его основного труда "Конические сечения". Я всегда интересовался творчеством Аполлония, и попросил моих парижских друзей прислать мне французский перевод Поля Вер Экке "Конических сечений". В 1976 г. в "Христоматии по истории математики" был опубликован мой перевод нескольких предложений по изданию Вер Экке.

"Конические сечения" состояли из 8 книг, первые 4 из которых сохранились в греческом оригинале, V-VII книги сохранились только в средневековом арабском переводе Сабита ибн Корры, 8 книга утеряна.

В 1710 г. астроном Эдмунд Галлей, знаток греческой и арабской математической литературы, опубликовал греческий текст, латинский перевод всех 7 дошедших до нас книг "Коническх сечений" и свою реконструкцию VIII книги.

В 1896 г. Т.Л.Хизс опубликовал английское изложение в современных обозначениях всех 7 сохранившихся книг труда Аполлония.

В 1891- 1893 гг. И.Л.Гейберг издал греческий текст "Конических сечений" с латинским переводом, в 1926 г. А.Чвалина опубликовал немецкий перевод первых IV книг "Конических сечений" по изданию Гейберга.

В 1952 г. Р.К.Талиаферро опубликовал английский перевод первых 3 книг "Коническх сечений".

В 1990 г. Дж.Дж.Тумер опубликовал перевод Сабита ибн Корры V-VII книг "Конических сечений" со своим английским переводом. Этот перевод Туммер послал мне в Москву, но я уже в это время находился в США.

В 1986 г. я опубликовал в ИМИ статью, где доказывал, что в предложениях 33-36 I книги "Конических сечений" Аполлоний рассматривал преобразования плоскости, совпадающие с инверсиями относительно конических сечений, определенными З.А.Скопецом в 1952 г.

Сведений о биографии Аполлония очень мало. Из того, что его называли Аполлонием Пергским, следует, что он родился в городе Перга на южном берегу Малой Азии недалеко от нынешнего турецкого города Бурса. Большинство сведений о жизни Аполлония содержится в предисловиях Аполлония к книгам "Конических сечений", адресованным тем людям, которым он посылал эти книги. Лучший анализ этих предисловий был дан Тумером во введении к его переводу.

Добавлю к выводам Тумера следующее. Имя "Аполлоний" означает "посвященный богу Аполлону". В предисловии ко II книге Аполлоний упоминает своего взрослого сына, которого также звали Аполлонием. из того, что имя Аполлоний было традиционным в семье ученого, можно сделать вывод, что эта семья происходит от жрецов бога Аполлона.

Предисловия к I и II книгам адресованы Евдему, с которым Аполлоний обсуждал в Пергаме план "Конических сечений". Аполлоний упоминает ученика Евдема Филонида, которого он рекомендовал Евдему в Эфесе. Отсюда и из того, что Аполлоний посылал Евдему первые кнги "Конических сечений"можно сделать вывод, что Апполоний, как и Филонид был учеником Евдема в Эфесе. Филонид впоследствии стал известным геометром и философом-эпикурейцем, работавшим при дворе Селевкидских царей, а Аполлоний после учебы у Евдема поехал в Александрию, где стал великим геометром.

До Аполлония конические сечения рассматривались только как сечения прямого кругового конуса плоскостями перпендикулярными одной из прямолинейных образующих поверхности этого конуса. Поэтому параболу называли "сечением прямоугольного конуса", эллипс - "сечение остроугольного конуса", а гиперболу, под которой имели в виду только одну ее ветвь, - "сечением тупоугольного конуса".

Аполлоний рассматривал конические сечения как сечения поверхностей не только прямых, но и наклонных круговых конусов произвольными плоскостями, не проходящими через их вершины, и рассматривал также продолжения поверхностей конусов по другую сторону их вершин. При этом старые названия теряли смысл, и Аполлоний предложил новые названия конических сечений, применяемые и в настоящее время. Гиперболой Аполлоний, как и его предшественники, называл одну ее ветвь, а обе ветви гиперболы он называл "противоположными гиперболами".

Названия Аполлония "парабола", "эллипс" и "гипербола", означающее, соответственно, "приложение", "недостсток "и "избыток", были связаны с уравнениями конических сечений. Уравнения Аполлония этих сечений имели тот же вид, что и у его предшественников, но до Аполлония эти уравнения записывались только в прямоугольных координатах, осью абсцисс которых служила ось симметрии сечения, а Аполлоний записывал их как в прямоугольных, так и в косоугольных координатах, осью абсцисс которых служил произвольный диаметр сечения, а осью ординат - касательная к сечению в конце этого диаметра.

Аполлоний определял диаметр конического сечения как такую прямую, что при косом отражении от нее сечение переходит в себя. Это отражение является частным случаем аффинного преобразования, поэтому в "Конических сечениях" доказано много теорем аффинной геометрии. Из того, что конические сечения являются плоскими сечениями одного и того же кругового конуса, следует, что их можно получить центральным проектированием окружности круга и, значит их можно получить из окружности проективным преобразованием. Поэтому в "Конических сечениях" доказано много теорем проективной геометрии. Так как инверсия относительно окружности круга является частным случаем конформного преобразования, в "Коническх сечениях" доказано несколько теорем конформной геометрии.

Результаты первых 4 книг "Конических сечений" Аполлония являются обобщениями результатов "Начал конических сечений" Евклида, также состоящих из 4 книг. Следующие книги труда Аполлония содержат новые результаты не имеющие аналогов в работах его предшественников. Особенна важна V книга, в которой изложены важные теоремы дифференциальной геометрии.В этой книге определены нормали к коническим сечениям и эволюты этих сечений, т.е. огибающие семейств нормалей. Аполлоний приводит пропорции равносильные уравнениям этих эволют. В Конических сечениях не приводится вывод этих пропорций, который невозможен без знания элементов дифференциального исчисления.

Из остальных сочинений Аполлония сохранилось только одно математическое сочинение в средневековом арабском переводе, но о других сочинениях Аполлония сохранились свидетельства античных авторов.

Клавдий Птолемей в "Алмагесте" цитирует астрономическое сочинение Аполлония, в котором изложена теория движения планет с помощью деферентов и эпициклов. Витрувий в "Десяти книгах об архитектуре" упоминал изобретенный Аполлонием астрономический инструмент, в котором используется стереографическая проекция, теория которой основана на 5-м предложении I книги "Конических сечений".