Борис Розенфельд - Пространства, времена, симметрии. Воспоминания и мысли геометра

Заменяя в определении линейного пространства поле скаляров алгеброй с делителями нуля, мы получим модуль. В модулях имеются особенные векторы, которые не равны 0, но их произведения на делитель нуля, могут быть равны 0.

Пространства над алгебрами

Аффинное пространство над алгеброй можно определить как множество элементов, называемых точками, ассоциированное с линейным пространством или модулем, причем всяким двум точкам А и В соответствует вектор а=АВ, всякой точке А и вектору а соответствует такая точка В, что а=АВ, и для всяких трех точек А, В и С сумма векторов АВ и ВС равна вектору АС.

Прямой линией аффинного пространства над алгеброй называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ коллинеарен с некоторым вектором линейного пространства или с неособенным вектором модуля ; m-мерной плоскостью называется такое множество точек, что для любых двух точек А и В этого множества вектор АВ является линейной комбинацией m линейно независимых векторов линейного пространства или модуля.

Аффинные преобразования аффинного пространства имеют вид x'=Af(x) + b, где А и b - линейный оператор и вектор линейного пространства или модуля, a f(x) - автоморфизм алгебры.

Две прямые линии или m-мерные плоскости называются параллельными, если они определяются одними и теми же линейно независимыми векторами линейного пространства или модуля. Одну из двух параллельных линий или плоскостей можно перевести в другую параллельным переносом x'=x+a.

В афинных пространствах над алгебрами с делителями нуля имеются смежные точки и смежные и расходящиеся прямые линии. Две точки А и В называются смежными, если вектор АВ особенный. Две прямые линии называются смежными, если они содержат смежные точки. Две прямые линии называются расходящимися, если они не имеют общих точек, но могут быть переведены параллельным переносом в смежные прямые линии.

Проективное пространство над алгеброй является результатом дополнения аффинного пространства бесконечно удаленными и идеальными точками, причем каждая система параллельных линий имеет одну общую бесконечно удаленную точку, а идеальные точки, которые имеются только в случае алгебр с делителями нуля, определяются смежными прямыми. Точки n-мерного проективного пространства представляются векторами (n + 1)-мерного аффинного пространства с точностью до правых скалярних множителей. Прямые линии и m- мерные плоскости проективного простраства представляются 2-мерными и (m+1) -мерными подпространствами линейного пространства или подмодулями модуля.

Так как бесконечно удаленные точки, которыми дополнено аффинное пространство, представляются векторами m-мерного линейного подпространства или подмодуля, эти бесконечно удаленные точки образуют бесконечно удаленную гиперплоскость проективного пространства. Идеальные точки представляются векторами, определяющими прямые смежные с прямыми, которые определяются векторами, представляющими бесконечно удаленные точки.

Проективные преобразования имеют вид x'=Af(x), где А - линейный оператор (n + 1)-мерного линейного пространства или модуля, а f(x) - автоморфизм алгебры.

Гиперплоскости, т.е. (n-1)-мерные плоскости аффинных и проективных пространств, определяются соответственными уравнениями ux+v=0 и ux=0, где u - ковектор линейного пространства или модуля, т.е. вектор пространства или модуля, сопряженного с рассматриваемым. В случае проективного пространства ковектор u определен с точностью до левых скалярных множителей, на этом основан принцип двойственности проективного пространства.

Если в аффинном пространстве над коммутативной алгеброй определено скалярное произведение векторов (a,b)=(b,a), т.е. скалярный квадрат (а,а) является квадратичной формой, мы получаем квадратичное евклидово или псевдоевклидово пространство.

Если в алгебре имеется инволюция, т.е.такой переход от всякого элемента х к элементу х*, что (х*)* =х и (xy)* =y*x*, и в аффинном пространстве над этой алгеброй определено скалярное произведение (a,b) = (b,a)*, т.е. скалярный квадрат является эрмитовой формой, мы получаем эрмитовы евклидовы и псевдоевклидовы пространства.

Если такие же скалярные произведения векторов определены в проективном пространстве над коммутативной алгеброй или над алгеброй с инволюцией, мы получаем квадратичные и эрмитовы неевклидовы пространства, т.е. эллиптические, гиперболические, псевдоэллиптические и псевдогиперболические пространства.

Если скалярное произведение таково, что (a,b)= -(b,a) или (a,b)=- (b,a)*, то мы получаем квадратичное или эрмитово симплектическое пространство.

Геометрия пространств с делителями нуля в значительной степени разработана в моих книгах 1955 и 1997 гг., а также в работах моих учеников.

Вещественные пространства и многообразия

В случае вещественного евклидова пространства скалярный квадрат (а,а) является положительно определенной квадратичной формой, а в случае вещественного псевдоевклидова пространства (а,а) - знаконеопределенная квадратичная форма, и если индекс этой формы равен k, псевдоевклидово пространство называется пространством индекса k. Пространство-

время специальной теории относительности является 4-мерным псевдоевклидовым пространством индекса 1.

Расстоянием между точками A и В называется квадратвый корень из склярного квадрата (а,а) вектора а = AB. Преобразования этих пространств, сохраняющие расстояния между их точками, называются движениями. Движения этих пространств являются частными случаями их аффинных преобразований.

Вещественное эллиптическое пространство (неевклидово пространство Римана) размерности n можно определить как гиперсферу (x,x)=r2 с отождествленными диаметрально противоположными точками в (n + 1)- мерном евкидовом пространстве. Роль прямых линий и m-мерных плоскостей эллиптического пространства играют большие круги и большие m-мерные сферы гиперсферы. Движения эллиптического пространства определяются вращениями гиперсферы.

Гиперболическое пространство (неевклидово пространство Лобачевского) можно определить как гиперсферу мнимого радиуса (x,x)= - q2 в (n +1)-мерном псевдоевклидовом пространстве индекса 1. Прямые линии и m-мерные плоскости гиперболического простраства определяются сечениями гиперсферы мнимого радиуса ее диаметральными 2-мерными и (m + 1)-мерными плоскостями Движения гиперболического пространства определяются вращениями гиперсферы мнимого радиуса. Гиперсфера мнимого радиуса в псевдоевклидовом пространстве индекса 1 имеет вид двуполостного гиперболоида и состоит из двух полостей. Лобачевский определял открытое им пространство не с помощью псевдоевклидова пространства, которое в его время было неизвестно, а как пространство, получаемое из евклидова при отказе от V постулата Евклида (аксиомы параллельности). Лобачевский заметил, что формулы тригонометрии в его пространстве могут быть получены из формул обычной сферической тригонометрии, если считать радиус сферы чисто мнимым числом.