БСЭ БСЭ - Большая Советская Энциклопедия (КА)

Теория искажений.Искажения в бесконечно малой области около какой-либо точки проекции подчиняются некоторым общим законам. Во всякой точке карты в проекции, не являющейся равноугольной (см. ниже), существуют два таких взаимно перпендикулярных направления, которым на отображаемой поверхности соответствуют также взаимно перпендикулярные направления, это — так называемые главные направления отображения. Масштабы по этим направлениям (главные масштабы) имеют экстремальные значения: m max= а и m min= b . Если в какой-либо проекции меридианы и параллели на карте пересекаются под прямым углом, то их направления и есть главные для данной проекции. Искажение длины в данной точке проекции наглядно представляет эллипс искажений, подобный и подобно расположенный изображению бесконечно малой окружности, описанной вокруг соответствующей точки отображаемой поверхности. Полудиаметры этого эллипса численно равны частным масштабам в данной точке в соответствующих направлениях, полуоси эллипса равны экстремальным масштабам, а направления их — главные.

Связь между элементами эллипса искажений, искажениями К. п. и частными производными функций (1) устанавливается основными формулами теории искажений.

Классификация картографических проекций по положению полюса используемых сферических координат.Полюсы сферы суть особые точки географической координации, хотя сфера в этих точках не имеет каких-либо особенностей. Значит, при картографировании областей, содержащих географические полюсы, желательно иногда применять не географические координаты, а другие, в которых полюсы оказываются обыкновенными точками координации. Поэтому на сфере используют сферические координаты, координатные линии которых, так называемые вертикалы (условная долгота на них а = const ) и альмукантараты (где полярные расстояния z = const ), аналогичны географическим меридианам и параллелям, но их полюс Z 0 не совпадает с географическим полюсом P 0 ( рис. 1 ). Переход от географических координат j , l любой точки сферы к её сферическим координатам z , a при заданном положении полюса Z 0(j 0, l 0) осуществляется по формулам сферической тригонометрии. Всякая К. п., данная уравнениями (1), называется нормальной, или прямой ( j 0= p/2 ). Если та же самая проекция сферы вычисляется по тем же формулам (1), в которых вместо j , l фигурируют z , a , то эта проекция называется поперечной при j 0= 0 , l 0 и косой, если 0 < j 0< p/2 . Применение косых и поперечных проекций приводит к уменьшению искажений. На рис. 2 показана нормальная (а), поперечная (б) и косая (в) ортографические проекции сферы (поверхности шара).

Классификация картографических проекций по характеру искажений.В равноугольных (конформных) К. п. масштаб зависит только от положения точки и не зависит от направления. Эллипсы искажений вырождаются в окружности. Примеры — проекция Меркатор, стереографическая проекция .

В равновеликих (эквивалентных) К. п. сохраняются площади; точнее, площади фигур на картах, составленных в таких проекциях, пропорциональны площадям соответствующих фигур в натуре, причём коэффициент пропорциональности — величина, обратная квадрату главного масштаба карты. Эллипсы искажений всегда имеют одинаковую площадь, различаясь формой и ориентировкой.

Произвольные К. п. не относятся ни к равноугольным, ни к равновеликим. Из них выделяют равнопромежуточные, в которых один из главных масштабов равен единице, и ортодромические, в которых большие круги шара (ортодромы) изображаются прямыми.

При изображении сферы на плоскости свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности и ортодромичности несовместимы. Для показа искажений в разных местах изображаемой области применяют: а) эллипсы искажений, построенные в разных местах сетки или эскиза карты ( рис. 3 ); б) изоколы, т. е. линии равного значения искажений (на рис. 8в см. изоколы наибольшего искажения углов со и изоколы масштаба площадей р ); в) изображения в некоторых местах карты некоторых сферических линий, обычно ортодромий (О) и локсодромий (Л), см. рис. 3а , 3б и др.

Классификация нормальных картографических проекций по виду изображений меридианов и параллелей,являющаяся результатом исторического развития теории К. п., объемлет большинство известных проекций. В ней сохранились наименования, связанные с геометрическим методом получения проекций, однако рассматриваемые их группы теперь определяют аналитически.

Цилиндрические проекции ( рис. 3 ) — проекции, в которых меридианы изображаются равноотстоящими параллельными прямыми, а параллели — прямыми, перпендикулярными к изображениям меридианов. Выгодны для изображения территорий, вытянутых вдоль экватора или какие-либо параллели. В навигации используется проекция Меркатора — равноугольная цилиндрическая проекция. Проекция Гаусса — Крюгера — равноугольная поперечно-цилиндрическая К. п. — применяется при составлении топографических карт и обработке триангуляций.

Конические проекции ( рис. 4 ) — проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, меридианы — ортогональными им прямыми. В этих проекциях искажения не зависят от долготы. Особо пригодны для территорий, вытянутых вдоль параллелей. Карты всей территории СССР часто составляются в равноугольных и равнопромежуточных конических проекциях. Используются также как геодезические проекции .

Азимутальные проекции ( рис. 5 ) — проекции, в которых параллели — концентрические окружности, меридианы — их радиусы, при этом углы между последними равны соответствующим разностям долгот. Частным случаем азимутальных проекций являются перспективные проекции.

Псевдоконические проекции ( рис. 6 ) — проекции, в которых параллели изображаются концентрическими окружностями, средний меридиан — прямой линией, остальные меридианы — кривыми. Часто применяется равновеликая псевдоконическая проекция Бонна; в ней с 1847 составлялась трёхвёрстная (1: 126 000) карта Европейской части России.

Псевдоцилиндрические проекции ( рис. 8 ) — проекции, в которых параллели изображаются параллельными прямыми, средний меридиан — прямой линией, перпендикулярной этим прямым и являющейся осью симметрии проекций, остальные меридианы — кривыми.

Поликонические проекции ( рис. 9 ) — проекции, в которых параллели изображаются окружностями с центрами, расположенными на одной прямой, изображающей средний меридиан. При построении конкретных поликонических проекций ставятся дополнительные условия. Одна из поликонических проекций рекомендована для международной (1: 1 000 000) карты.