Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

Первый шаг в научном направлении теория вероятностей сделала благодаря итальянским математикам Никколо Тарталье (1499–1557) и Джероламо Кардано (1501–1576). Правда, трудились эти ученые не в кабинетах, а за игровым столом. Невероятно азартные и жаждущие непременно выигрывать, они определили все возможные комбинации для двух и трех костей и вычислили шансы выпадения каждого суммарного числа очков. Результаты Кардано изложил в книге «Об азартной игре», которая послужила основой для последующих изысканий в этой области.

Систематизировать выводы итальянцев смог их французский коллега Блез Паскаль (1623–1662). Блезу сам бог велел заняться математикой. Его папа Этьен, будучи председателем налогового управления, отлично ориентировался в сложных арифметических операциях (и кстати, изобрел необычную петельчатую кривую — «улитку Паскаля»), поэтому образованием отпрысков занимался сам. Учебный план Этьена предполагал, что Блез до 12 лет будет зубрить латынь и прочие иностранные языки, а уже потом возьмется за математику. Как бы не так! На регулярных встречах кружка математиков, проходивших в доме Паскалей, маленький вундеркинд без устали засыпал гостей вопросами вроде «а как сложить это и это число?», «а как отнять это от вот этого?..», чертил прямо на полу треугольники, а к 16 годам написал работу о том, как строить сечения конуса по пяти точкам. Более того, заметив однажды, как папа считает многозначные числа в столбик, он задался целью сконструировать вычислительную машину — и через несколько месяцев выдал на-гора хитроумное изобретение, которое проделывало разные арифметические операции автоматически.

Как-то раз к Блезу обратился его знакомый — французский писатель, математик-любитель и заядлый игрок шевалье де Мере. Ему пришло в голову, что если бросать одну кость 4 раза, то непременно выпадет шестерка (а это победа), и он попросил Блеза проверить свою гипотезу. При расчетах Паскаль руководствовался принципом, который схематически можно описать так: когда у тебя в мешке два зеленых яблока и одно красное, вероятность вытащить зеленое ― 2: 1; но чем больше в мешке зеленых яблок, тем больше вероятности, что тебе попадется именно такой фрукт, а не красный. Таким образом, если бросить кубик всего один раз, то возможность заработать шесть очков составит 1: 6, а не заработать — 5: 6; бросаешь дважды — возведи возможность проигрыша в квадрат, и получишь 25: 36; соответственно, тот, кто бросает четыре раза, окажется в пролете с вероятностью 625: 1296 (это 5 4: 6 4). Получается, если Мере вступит в игру первым, то риск остаться ни с чем у него невелик — всего 0,48.

Услышав эту новость, шевалье радостно принялся всех обыгрывать, но вскоре соперники подметили его хитрость и перестали с ним сражаться. Мере попробовал еще один вариант — и ошибся. И тогда у него возникла мысль: а может, делить ставку еще до окончания партии? Как это лучше сделать, он снова-таки спросил у Паскаля. Условие было таким: двое игроков поставили по 50 монет и договорились бросать кубики, пока кто-либо не одержит три победы; одному удалось победить дважды, другому — один раз, и если выбросить кости еще по разу, то либо первому игроку достанется вся ставка (100 монет), либо будет ничья. Исходя из этого, первый игрок вполне может отказаться от следующей партии, ведь 50 монет у него уже есть, а еще 50 могут достаться и ему, и его сопернику с равной вероятностью, потому справедливо было бы разделить их поровну. В итоге, не доводя игру до победного конца, первый участник заберет 75 монет, а второй — 25, то есть их шансы на выигрыш составляют 3:1.

Мере такой исход устроил, но его интересовал еще один вопрос: сколько раз нужно бросить два кубика, чтобы выпало 12 очков? В поисках ответа Паскаль определил все комбинации цифр на гранях костей и по количеству этих сочетаний подсчитал возможную частоту выпадений. А между тем шевалье озадачил своими проблемами еще одного математика — Пьера Ферма (1607–1665). Поскольку Пьер жил в Париже, а Мере и Блез — в Тулузе, общаться им пришлось письменно, однако результаты полностью сошлись, хотя Ферма использовал свой фирменный метод, отличный от алгоритма Паскаля. На почве общего увлечения математики заочно подружились, и некоторое время спустя их общий труд вдохновил голландского ученого Христана Гюйгенса (1629–1695) последовательно изложить теорию вероятностей в серии статей «О расчетах к азартной игре».

Гюйгенс первым догадался ввести понятие математического ожидания — усредненного показателя, вокруг которого сосредоточены все вероятностные значения, — и применить его для решения разных вариаций задач Мере. Более того, несмотря на название своей работы, голландский математик подчеркнул, что данная теория будет полезна не только в игровом деле, но и в других сферах жизни.

Его слова оказались пророческими. Сто лет спустя теория вероятностей стала использоваться в статистических выкладках: какие профессии будут самыми нужными и сколько представителей каждой из них потребуется на рынке труда? Какое число девочек и мальчиков родится в будущем году? Насколько изменится уровень доходов и затрат? А в конце XIX в. теория пригодилась даже физикам — чтобы угадывать возможное количество элементарных частиц в том или ином веществе.

В ХХ в. от теории вероятностей «отпочковалась» теория игр, направленная на выбор лучшей стратегии в любой игре, будь то рыночная конкуренция, отношения начальника и подчиненных, учителя и учеников, следователя и обвиняемых, в конце концов, участников спортивных состязаний. При этом учитывалось, что каждый участник отстаивает собственные интересы, у каждого имеется свой план А, план Б и т. д., а значит, чтобы выбрать оптимальный путь, нужно не только ориентироваться на самый лакомый кусок для себя, но и иметь в виду действия противника, который хочет того же.

В 1948–1949 гг. американский студент Джон Форбс Нэш написал диссертацию на тему равновесия в некооперативных играх — отношениях, участники которых имеют общую цель, но не могут объединиться ради ее достижения. Собственно, равновесие Нэша предполагало, что никто не выиграет, если будет думать только о себе.

Для наглядного примера ученый описал ситуацию, когда двое преступников, арестованных одновременно за схожие злодеяния, получают возможность либо молчать, либо выдвинуть обвинение друг против друга. В первом случае каждый получит по шесть месяцев; в случае обоюдного обвинения и тому, и другому грозят два года заключения; а если свидетельствовать будет только один из них, то его выпустят, а обвиненного посадят на десять лет. Рассудив, что шесть месяцев — лучше, чем два года (или, не дай бог, десять лет), каждый подозреваемый, скорее всего, пожертвует призрачной свободой и смолчит.