Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

В экономике тот же принцип влияет на цены. Казалось бы, любому бизнесмену выгодно установить высокую цену на свой товар, но он знает, что клиенты пойдут туда, где дешевле, поэтому будет удерживать некую оптимальную среднюю стоимость. Так происходит негласный сговор о ценовой политике.

Можно сказать, посредством теории вероятностей/игр Нэш математически установил баланс личной и общей выгоды, сформулировал правила торговых сделок, разработал законы конкуренции.

Кажется удивительным, что представление о числовых множествах появилось лишь в позапрошлом столетии — через два века после открытия функций, интегрирования и дифференцирования. Неужто до того никто не подозревал, что числа могут выстраиваться в длинные ряды? Ведь разные виды комбинаций цифр были известны человечеству задолго до нашей эры благодаря вавилонским, греческим и индийским мудрецам…

Нет, на самом деле бесконечные числовые цепочки в сознании наших предков присутствовали — но это были множества особого рода, не ограниченные в росте. То есть потенциальные. В то, что существуют и другие множества, с определенным количеством составляющих, а значит, стабильные (или актуальные), никто верить не хотел. Даже именитый немецкий математик Карл Гаусс категорично заявлял: не оскверняйте математику внедрением бессмысленной кучи чисел. Впрочем, если «конечную бесконечность» просто игнорировали, то потенциальную обзывали дурной и всячески унижали. Например, ряды чисел, безудержно стремящихся к нулю и очень полезных при интегрировании — вычислении площади, объема, скорости и пр. по сумме мельчайших составляющих, — ученые пытались как-то обуздать и приписать им конечные значения.

Все это крайне возмущало другого математика из Германии — Георга Кантора (1845–1918). Он полагал, что нельзя затискивать бесконечно малые величины в какие-то рамки — в этом нет смысла, ведь именно стремление таких чисел к нулю позволяет предельно точно рассчитывать изменения разных показателей и отображать взаимосвязи всяческих процессов. Но поскольку подобные множества, несмотря на огромный потенциал, слишком неопределенные — поди узнай, куда они могут скакнуть, — им нужны более надежные, близкие к реальности, актуальные собратья.

Вообще, что такое множество? Кантор говорил, это нечто целое, объединяющее в себе с той или иной закономерностью большое количество вещей, которые мы видим или о которых думаем. Потенциальное множество — конечный, но безмерно растущий показатель — существует лишь в нашей голове и само по себе ничего не означает. Его миссия — отображать, как меняются одни процессы в зависимости от других, а помогают ему в этом дифференциалы и интегралы, открытые Исааком Ньютоном и Готфридом Лейбницем. Другой вид множества (актуальную бесконечность) Кантор представлял точкой, которая на плоскости безгранично отдалена от других точек, расположенных «в поле зрения». Если попробовать построить график функции в окрестностях этой точки, то его вид будет точно таким, как в зоне обычных величин. Значит, рассуждал ученый, актуальное множество являет собой ограниченное, неизменное количество, которое тем не менеебольше всех мыслимых конечных величин.

Идеальный пример такого множества — все точки окружности. Их количество фиксировано — раз; неизменно — два; бессчетно — три. В сфере, которая состоит из бесконечного множества точек, расположенных на одинаковом расстоянии от центральной, и заполнена бесконечным множеством точек, ученый различил два вида актуальных множеств. Одно (сверхконечное) еще можно увеличить, а другое (абсолютное) увеличению не поддается, потому для работы неудобно. Так что математики предпочитают иметь дело только со сверхконечными множествами.

Кроме того, Кантор подметил, что бесконечные целые числа очень похожи на ту точку в плоской системе координат, которая очень сильно отдалена от обычных точек с конечными значениями. Эти числа так же далеки от конечных, только, в отличие от точки, их много — целый ряд! И не найдется среди них ни пары одинаковых, а стоят они, выстроившись в определенной последовательности, подчиненной строгим законам. Потому-то их множество нельзя назвать потенциальным — оно актуальное, и его можно разделить на классы: в первом классе сидят конечные значения, во втором — бесконечные одного рода, в третьем — бесконечные другого рода и т. д.

И что интересно, каждый ряд, каждое множество, хоть конечное, хоть бесконечное, отличается определенной мощностью, которая измеряется по количеству элементов множества. Но если с конечными рядами все более-менее понятно: посчитал все числа, и готово, — то с бесконечными возникают некоторые трудности. Просто посчитать его элементы не получится! Поэтому Кантор предложил использовать метод сопоставления: если каждому элементу одного множества можно подобрать пару в другом множестве, то эти ряды одинаково мощные. Если же в одном множестве наберется элементов только на часть другого множества (то есть после того, как множества разобьются на пары, во втором останутся одинокие элементы), значит, второе явно мощнее. И чем больше классов в ряду, тем выше его мощность. (Кстати, расчеты ученого показали нечто фантастическое: множества точек на прямом отрезке и на периметре квадрата имеют равную мощность, каким бы коротким ни был отрезок и каким бы большим ни казался квадрат.)

А как насчет сложения самих чисел? Вычислить сумму элементов конечного ряда — не хитрость, но можно найти ее и в бесконечном ряду. Там все зависит от последовательности элементов: скажем, странные ряды вроде (1 + 1 ‒ 1 + 1…) и (1 + 2 ‒ 3 + 4…) суммируются по среднему арифметическому начальных элементов. А привычный (1 + 2 + 3…) заставит проделать несколько сложных операций и выдаст в итоге ‒¹⁄₁₂.

Все эти наблюдения позволили Кантору ввести понятие упорядоченного множества, где все элементы расположены в обозначенном заранее порядке, за первым, начальным числом следует второе, определенное изначально, и такой же последователь прикреплен к каждому элементу. Если множество упорядочить, то числа в нем будут подчиняться законам, общим абсолютно для всех целых чисел, и с ними можно будет выполнять те же операции. Что касается внутренней сути актуальных бесконечных множеств, то, по мнению ученого, они имеют двойную связь с реальностью. С одной стороны, множества связаны с миром идей в нашей голове: мы сами приписываем числам какие-то свойства, распределяем на категории, придумываем с ними разные действия. С другой стороны, числовые множества отображают разнообразные процессы и взаимоотношения внешнего мира (взятьхотя бы графики функций), к тому же материальные объекты объединяются с рядами чисел понятием мощности.