Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

Работа Кантора, посвященная теории множеств, вышла в 1877 г., а в 1902 г. его современник, немец Готлиб Фреге (1848–1925), опубликовал собственный труд на эту тему. Фреге пытался разработать такую систему, в которой не было бы противоречий, — такую, которая могла бы стать надежной опорой для всей математики. Но… Когда книгу уже печатали, ученый получил письмо от британского коллеги Бертрана Рассела (1872–1970), указавшего ему на явный промах. В системе Фреге можно было строить множества всех множеств, а это значило, что числовой ряд должен включать себя в себя. Скажем, толпа детей — это обычное множество, поскольку один ребенок не являет собой толпы. Но если столпотворение по условию должно складываться из всех толп мира, то и ему следует присутствовать в собственном составе. Вот эту нестыковку и нашел Рассел, о чем известил Фреге, проиллюстрировав свои претензии наглядными примерами.

Представим, будто в городке живет цирюльник, который бреет лишь тех, кто не бреется сам. Если он бреется сам, то не может брить себя. Если не бреется сам, то просто обязан брить себя. А человек, заявляющий «Я вру», лжет — значит, говорит правду, но тогда его утверждение не может быть ложным. Вот такие парадоксы. Еще один пример Рассел выискал в романе «Жизнь и мнения Тристрама Шенди», написанном Лоренсом Стерном. Герой этого произведения жалуется на то, что никогда не сможет дописать свою биографию, так как за год успевает изложить события всего одного дня. Это, конечно, соответствует здравому смыслу, рассуждал Рассел, однако противоречит теории множеств. Ведь если бы герой жил вечно, количество прожитых лет не уступало бы числу дней — между днями и годами установилось бы парное равновесие, и мощность двух бесконечных рядов сравнялась бы.

Разумеется, это письмо ужасно расстроило Фреге — ему даже пришлось сделать приписку к своему труду с признанием, что фундамент его системы рухнул еще до завершения строительства «здания». Но как бы то ни было, труды Кантора и Фреге не были напрасны. Их открытия и умозаключения подтолкнули математиков пересмотреть свои взгляды на числа, изменить подход к математическому анализу (в частности, к оперированию функциями и интегралами), разработать теорию пределов, базирующуюся на иррациональных числах.

До середины XVIII в. абсолютно все были уверены, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести лишь одну прямую, параллельную первой. А профессиональные геометры точно знали: две прямые, пересеченные третьей, образующей с ними по одну сторону два угла, которые не превышают в сумме 180°, обязательно пересекутся между собой. Эти незыблемые правила придумал греческий ученый Евклид, который жил в IV–III вв. до н. э. И вот более чем через 20 столетий двое смелых математиков — венгр Янош Бойяи и россиянин Николай Лобачевский — рискнули заявить, что плоская геометрия Евклида не единственная, есть еще и геометрия объемная, где действуют несколько иные законы.

Янош Бойяи (1802–1860) с детства буквально бредил идеей доказать постулат о параллельных прямых. Он знал, что его папа Фаркаш обсуждал эту проблему со своим другом, известным немецким математиком Карлом Гауссом (1777–1855): оба бились над покорением теоремы, однако, судя по всему, ничего у них не получалось.

В переписке с Фаркашем Карл не раз высказывал мысль, что, возможно, данное утверждение просто ошибочно. Может, есть еще какой-то способ расположения тел в пространстве, отличный от описанного Евклидом? Мол, вон и Кант говорил о каких-то других геометриях, а Канту можно верить: он был знатным мудрецом…

Однако это предположение казалось слишком фантастическим, потому Бойяи-старший изо всех сил пытался отговорить сына от «бессмысленной» работы над теоремой. «Не трать на это и часа!» — увещевал он, и юный Янош послушно просиживал над задачей о параллелях… по 24 ч кряду. В отчаянии Фаркаш в конце концов обратился к Гауссу, чтобы тот хоть как-то повлиял на упертого мальчишку, но Карл, будучи в курсе всех расчетов Яноша, сказал, что не может этого сделать, поскольку сам уже 35 лет занимается данным вопросом, а главное — неизменно приходит к тем же результатам. Постулат доказать нельзя, и он не связан с остальными законами «плоской» геометрии.

Путь, который привел Яноша к такому выводу, был подробно описан на 24 страницах, в качестве бонуса вошедших в работу Бойяи-старшего. В статье Янош опровергал утверждение Евклида о том, что углы треугольника в сумме должны составлять 180°, а у прямоугольника все углы прямые. Ведь если представить себе фигуру, начерченную на вогнутой поверхности, станет ясно: стороны треугольника (так же как и прямоугольника) искривлены внутрь, и сумма углов не дотягивает до 180°; да и вообще, каждый треугольник по сумме углов уникален, ведь степень искривленности у всех разная. Кроме того, на кривых поверхностях нельзя нарисовать подобные треугольники разного размера: чем меньше фигура, тем меньше у нее углы, а чем фигура крупнее, тем и углы больше. Так что в тех случаях, когда углы у треугольников равны, фигуры совершенно одинаковы — их можно наложить одну на другую.

Прочитав выкладки юного ученого, Гаусс восторженно написал его отцу: «Твой молодой геометр — настоящий гений! По моему глубокому убеждению, если мы отбросим идею о единичности параллельной прямой, то не совершим ошибки, каким бы странным ни казался этот отказ». Так небольшое сочинение под скромным названием «Опыт введения учащегося юношества в начала чистой математики» (в просторечии прозванное «Аппендиксом») положило начало перевороту в геометрической науке.

Впрочем, Бойяи оказался не единственным революционером. Корпя над пятым постулатом Евклида, он и не знал, что в России ту же проблему пытается решить еще один молодой математик — Николай Лобачевский (1792–1856). Доказательством пятого закона евклидовой геометрии Николай увлекся в студенческие годы, но все его старания, разумеется, не увенчались успехом. Тогда он пошел ва-банк и в своем дебютном труде по геометрии заявил: «Через точку, расположенную вне прямой, можно провести несколько прямых, которые никогда не пересекут первую».

Конечно же, данное правило Лобачевский сформулировал в расчете не на ровную поверхность, а на вогнутую («с отрицательной кривизной») вроде лейки, седла, внутренней стороны зонта, чашечки цветка и прочего. Такая поверхность образуется при вращении особой кривой линии — трактрисы — вокруг своей оси, а форма трактрисы очень похожа на траекторию тележки, которую везет за собой бабушка, или сумки на колесиках, катящейся вслед за пассажиром. Эта кривая изогнута так, словно тележка/сумка постоянно пытается догнать того, кто ее тащит. Поверхность, созданная вращающейся трактрисой, напоминает перевернутую вверх тормашками лейку, и если чертить на ней параллельные линии, то они тоже будут изгибаться и расходиться в стороны. (Эти линии называются геодезическими: у них много общего с меридианами на земном шаре.) Действие закона Лобачевского можно пронаблюдать и на примере матраса с узором из параллельных полосок. Пока на него никто не сел, его поверхность можно считать евклидовой — полосы не пересекаются. Но стоит только положить на матрас, скажем, гирю, как его поверхность станет вогнутой, гиперболической, и две-три полоски встретятся в одной точке, но при этом не пересекут непримятые линии.