Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

За несколько тысяч лет до нашей эры жители города-государства Вавилон уже могли похвастать позиционной системой счисления, которая позволяла записывать многозначные числа, не растягивая это удовольствие на несколько строк. У вавилонян было 60 основных чисел, которые изображались разными комбинациями «вилочек» и «плавников», а для записи бóльших значений нужно было просто расположить готовые числа в правильной последовательности, опираясь на шестидесятки так, как мы опираемся на десятки. Кстати, эта система до сих пор служит нам для измерения времени и углов.

Кроме того, граждане Вавилона строили причудливые здания и часто сталкивались со сложными расчетами: например, как найти диагональ прямоугольника или площадь пирамиды без верхушки? Как соотносятся длина окружности и ее диаметр? (Последнее привело вавилонян к приблизительному значению числа «пи».) В ходе этих вычислений люди осознавали, что не всегда при делении одного натурального числа на другое можно получить снова-таки натуральное значение. Если нужно найти треть какого-либо объема, следует 1 разделить на 3, и выйдет не целое, а дробное число. Так были открыты рациональные числа — дроби, состоящие из целого числителя и натурального знаменателя. А еще вавилоняне первыми научились извлекать из чисел квадратные и кубические корни.

Что касается целых чисел, то их «вторая половина» — отрицательные числа — была открыта сразу после того, как у людей сформировалось представление о ноле. Конечно, то, что из одного яблока как-то неудобно отнимать два, замечали давно. Но чисел, которые отображали бы результат, просто не было, да и разве можно этот результат себе представить? Первым, кто решился ввести «невозможные» числа со знаком минус, стал греческий ученый Дифант, и случилось это в III в. уже нашей эры. Однако на протяжении еще 6 веков человечество мучилось вопросом, как решать уравнения и не получатьотрицательный результат. Несколько способов предложил узбекский ученый Абу Абдулла аль-Хорезми (783–850) в своем труде «Аль-Джебр» (дословно: «Восстановление положительных величин») ― от названия этого трактата образовалось слово «алгебра». Впрочем, в конце концов к «минусовым» числам все привыкли — с их помощью оказалось удобно записывать долги, — и группа целых чисел, включающая отрицательные, положительные (натуральные) и ноль, сложилась полностью.

А между тем люди уже знали, что помимо целых чисел существуют дробные, они же рациональные. И что есть еще какие-то странные числа, которые получаются, к примеру, при попытке извлечь квадратный корень из числа 2.

В VII в. до н. э. индусы попробовали найти такое число, которое можно умножить на него же и получить 61, но у них ничего не вышло.

А сто лет спустя с этим явлением столкнулся греческий математик Пифагор. Вообще, Пифагор учил своих последователей основам математической гармонии, которая предусматривала обычные дроби. Так, стороны прямоугольников легко находились по соотношению между собой: если ширина четко делилась на два одинаковых отрезка, а длина — на семь таких же отрезков, то первую принимали за единицу, а вторую — за ⁷⁄₂. А если принять половину ширины за единицу измерения, то площадь фигуры можно определить, умножив 2 на 7. Однако, когда дело дошло до измерения сторон мистической пентаграммы, все перепуталось. Пентаграмма состоит из равнобедренных прямоугольных треугольников, и Пифагор нашел, что сумма квадратов катетов такого треугольника равна квадрату гипотенузы. Приняв длину каждого катета за единицу, ученый вычислил длину гипотенузы — корень квадратный из числа 2 — и…растерялся. Что за число такое получается? Конца-края ему нет!

Потом Пифагор от противного доказал, что это число нельзя представить в виде рациональной дроби, и дал ему название иррационального. Впоследствии выяснилось, что иррациональные числа, в отличие от рациональных, не содержат систематически повторяющихся комбинаций цифр — в них все непредсказуемо. А кроме того, если рациональные числа можно посчитать, то иррациональных бессчетное множество.

Таким образом, целые, рациональные и иррациональные числа объединились в группу вещественных, или действительных. А позже оказалось, что в их компании кое-чего не хватает, а именно значений, которые получаются при извлечении корня из отрицательных чисел. Речь идет о числах комплексных.

Фактически эти «виртуальные» числа были открыты за 5 столетий до нашей эры обычным студентом Героном, который жил в египетском городе Александрия. Герону дали задание определить полный размер пирамиды, и расчеты привели его к тому, что нужно отнять 144 из 81, а потом еще и найти корень полученного числа (‒63). Герон решил, будто что-то напутал, и не стал даже пытаться проделать данную операцию.

В VIII в. математики выяснили, что квадратный корень обычного положительного числа может быть и с плюсом, и с минусом (поскольку минус на минус дает плюс), но в обратном направлении этот закон не действует: из отрицательного числа корень извлечь никак не получится. Ошибочность данного убеждения впервые была доказана лишь в XVI в., а поспособствовала этому очень запутанная, почти детективная история.

В тот период наука только просыпалась после долгой средневековой спячки, когда церковные догмы правили бал, а все достижения мудрых греков были забыты. Но так или иначе человечество стремилось к улучшению качества жизни, а для этого нужно было развиваться — проводить научные исследования, делать открытия, заниматься изобретательством, торговать… Не удивительно, что одной из первых после долгого застоя воспрянула математика. В разных городах Европы даже начали проводиться состязания в решении задач — победитель получал не только славу, но и хорошее денежное вознаграждение.

В 1520-х лучшим математиком слыл итальянский профессор Сципион дель Ферро: только ему удавалось решать кубические уравнения вроде x 3 + bx = c . В давние времена и греки, и вавилоняне, и арабы легко справлялись с уравнениями, где корень возведен в квадрат (пусть для этого ученым и приходилось чертить геометрические фигуры), но как поступать с кубическим корнем — долгое время не знал никто. Потому не удивительно, что Ферро снискал всеобщее восхищение, а его ученики получили козырь, которым можно было бить карты даже самых маститых математиков.

В 1534 г. один из них, Никколо Тарталья (1499–1557), получил вызов от ученика Ферро по имени Антонио Фиоре. Самонадеянный юноша дал Тарталье 30 задач на решение кубических уравнений, будучи уверенным, что соперник сдастся без боя. Однако Тарталья подумал-подумал и… нашел свой способ вычислить неизвестные величины, тогда как Фиоре не осилил ни его заданий, ни даже собственных.