Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

По примеру вавилонян, греки тоже пытались применять функции (в частности, квадратичные) в процессе строительства разных сооружений. Так, чтобы заложить фундамент, вдвое превышающий по размеру некий образец, или построить дом ровно в 2 раза больше, чем у соседа, античные зодчие искали соотношение, то есть пропорцию сторон. По легенде, таким способом был сооружен священный алтарь на острове Делос в Эгейском море. Якобы в V в. до н. э. боги пообещали эллинам избавить их от страшной эпидемии, если они установят вдвое больший алтарь по сравнению со старым. Последний представлял собой куб с метровыми гранями, и его объем составлял метр кубический, а значит, размер нового алтаря должен был равняться двум метрам кубическим. Местные строители попробовали делать измерения по старинке, линейкой и циркулем, но ничего не получилось. В отчаянии они пошли за советом к Платону, однако философ рассердился и заявил, что народ совсем распустился и забыл о математике.

Ситуацию спас другой талантливый грек — математик Гиппократ Хиосский: именно он подсказал несчастным делосцам, как удвоить куб. Ученый составил пропорцию между ребром меньшего куба, двойным ребром меньшего куба, ребром большего куба и отрезком, относящимся к двойному меньшему ребру так, как меньшее ребро относится к большему. Далее последовал ряд сложных вычислений, результатом которых стал кубический корень из 2 — именно такую длину необходимо было задать ребру нового алтаря. Таким образом, эллины наконец смогли построить алтарь и угодить богам. А позже оказалось, что все можно было сделать иным способом: из соотношения вывести три уравнения, а затем, подставляя разные значения неизвестной, начертить в системе координат две параболы и гиперболу. Графики функций пересекутся в одной точке, проекция которой на ось абсцисс и покажет нужное значение (1,26). Кстати, греческий мудрец Менехм сделал нечто подобное с помощью сечений конуса.

Еще одно предание свидетельствует о том, что свойства функций хорошо были известны греческому математику Архимеду (287–212 до н. э.). Вероятно, он знал, что между любой прямой и точкой на плоскости можно провести параболу — кривую линию, каждая точка которой будет расположена на одинаковом расстоянии и от линии (директрисы), и от исходной точки (фокуса). Поговаривают, ученый догадался отшлифовать вогнутые зеркала по форме поверхности, которая образуется при вращении параболы, а затем сжег флот римлян, просто направив эти зеркала на Солнце так, чтобы лучи, отразившись, прошли через параболический фокус. Правда это или нет, ученые спорят до сих пор, но использовать функции греки умели.

Прошло не одно столетие, прежде чем люди научились чертить полноценные графики функций. Первым это сделал французский ученый и епископ Никола Орем (1330–1382): на горизонтальной оси он отмечал время движения, а на вертикальной — пройденное расстояние либо скорость, затем чертил перпендикулярные отрезки из каждой точки горизонтальной оси к уровню соответствующей точки на вертикали и определял динамику изменений. Таким же образом ученый выяснял, повышается ли температура воды в зависимости от ее количества, как зависит вес тела от его объема, насколько усиливаются или ослабевают магнитные свойства тел, их способность проводить тепло, электризоваться и т. д. в соответствии с изменениями разных внешних факторов. Анализируя свои графики, Орем разделил все качества на неизменные, равномерно изменяющиеся и прочие.

В начале XVII в. другой знаменитый француз, Рене Декарт, не только придал системе координат завершенный вид, но и дополнил знания о функциях понятием переменных величин, то есть неизвестных (им были отведены последние буквы алфавита x, y, z ), числовых множителей, которые получили свои буквы a, b, c , а также степеней вроде х 2 или у 3. Более того, именно с подачи Декарта связи между разными величинами стали выражаться через уравнения. А еще ученый дал четкое и лаконичное определение самой функции: изменение ординаты точки в соответствии с изменением ее абсциссы. Кстати, почти в то же время свойства функции исследовал соотечественник Декарта, Пьер Ферма, а чуть позже чертить графики взялся и англичанин Исаак Ньютон, для которого функция была величиной, меняющейся в течение некоторого времени.

А вот немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646–1716) воспринимал функцию как проекцию отрезков, отложенных по касательной к кривым, на оси координат. Любопытно, что Лейбниц открыл очень необычную функцию, которая получила название «собачьей кривой», или трактрисы. На одном из занятий ученый задал своим студентам задачку: представим, что по оси абсцисс мчится пес, а с оси ординат по кривой за ним гонится хозяин, и натянутый поводок (отрезок постоянной длины) направлен по касательной к его траектории. Как провести линию, по которой двигается хозяин? Студенты с заданием справились, и вышла линия, плавно «съезжающая» с вертикали на горизонталь.

Швейцарский математик Иоганн Бернулли (1667–1748) решил рассматривать количественные зависимости исключительно на уровне формул и уравнений. Его земляк Леонард Эйлер в середине XVIII в. определил, что функция — это такая зависимость одного количества от другого, при которой изменение первого влечет пропорциональное изменение второго. Почти через 100 лет русский математик Николай Лобачевский уточнил определение Эйлера, назвав функцией от х такое число, которое неразрывно связано с каждым х и меняется вместе с ним (например, количество работы — сообразно с затраченными усилиями, расстояние — со временем и т. д.). Помимо прочего, Лобачевский заметил, что функцию можно определить либо аналитически, решив уравнение, либо графически, подставляя случайные числа.

Позже, конечно, это определение снова видоизменилось, и нас уже учат тому, что функцией называется взаимосвязь двух переменных, когда каждому значению независимой переменной (аргумента) соответствует свое значение зависимой переменной (функции). Графики функций, связывающие координаты точек (проекции переменных) на плоскости, используются в разных сферах человеческой деятельности, чаще всего в экономике и социологии. С их помощью можно, например, проследить динамику изменения уровня жизни, инфляцию, выборный рейтинг и пр.

Это, пожалуй, самая знаменитая и самая запоминающаяся геометрическая теорема. Если кто и забыл, что сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы (на всякий случай напомним: катеты — это стороны прямоугольного треугольника, расположенные под углом 90°, а гипотенуза — соединяющая их сторона), то уж смешной стишок про пифагоровы штаны, которые во все стороны равны, наверняка знают все. Впрочем, сам великий греческий математик понятия не имел, что такое штаны (в VI–V вв. до н. э. такого предмета гардероба просто не было), а стишок сочинили школьники гораздо позже: ведь для наглядного доказательства теоремы учитель, как правило, строит на каждой стороне прямоугольного треугольника квадраты, а такой рисунок получается весьма похожим на брюки. Кстати, в эпоху Средневековья теорема именовалась другим прозвищем — «мостик для осла».