Коллектив авторов - 100 великих научных открытий

Вскоре после турнира слухи о феерической победе Никколо Тартальи дошли до Джероламо Кардано (1501–1576) — именитого врача, инженера, физика и математика, который уже тогда разработал основные принципы теории вероятностей. Желая во что бы то ни стало выведать алгоритм решения «нерешаемых» уравнений, Кардано пришел к Тарталье и долго уговаривал его поделиться тайным знанием: мол, скрывать бессмысленно — все равно никто с тобой тягаться не сможет. Тарталья скрепя сердце согласился, но взял с Кардано слово хранить алгоритм в секрете. Джероламо, конечно, слово дал — и, разумеется, нарушил его, описав схему решения в своей книге «Великое искусство». Благодаря этому все лавры достались ему — именно его стали считать автором волшебной формулы, как ни пытался добиться справедливости Тарталья.

Работая над книгой, Кардано обнаружил интересную особенность «украденного» алгоритма: подчас он требовал извлечь квадратный корень из отрицательного числа. Например, чтобы найти числа, которые в сумме давали 10, а при умножении — 40, ученый решал квадратное уравнение и получал два ответа, содержащих число √–15. Не разобравшись, что делать с такими результатами, Кардано назвал их хитроумными, но бесполезными, а вычисления — неуловимыми.

Впрочем, в 1572 г. другой итальянец, Рафаэль Бомбелли (1526–1572), определил, что даже из отрицательных чисел можно извлекать корни, в том числе кубические. А 65 лет спустя французский ученый и философ Рене Декарт (1596–1650) поместил мнимые, по его же выражению, числа вроде x + y √–1 в собственную систему координат — и увидел кое-что любопытное. Если на горизонтальной оси абсцисс отложить вещественную часть этого числа ( х ), а на вертикальной — мнимую ( y ), то само число отобразится в виде точки на плоскости. Причем совокупность точек, отвечающих корням отрицательного числа, отзеркалит ряд корней «одноименного» обычного числа. Скажем, кубические корни числа ‒1 представлены точками, которые лежат на вершинах равностороннего треугольника слева от оси ординат, занимая верхнюю и нижнюю плоскости, а корни из числа 1 образуют такой же треугольник, только зеркально отраженный справа от оси ординат.

В 1916 г. французский математик Гастон Жюлиа попробовал поступательно возводить комплексные числа в какую-либо степень (например, базовое число — в куб, затем полученное число — в куб и т. д.) и каждое значение отмечать в системе координат. В итоге точки сложились в причудливый узор, состоящий из одинаковых элементов, повторяющихся во все меньшем и меньшем размере (подобные фигуры называются фракталами — их можно увидеть в листьях папоротника, соцветиях романеску, раковинах улиток и пр.).

Между тем в начале XVIII в. ученые все еще сомневались в практическом значении комплексных чисел. Немецкий математик Готфрид Лейбниц называл мнимый корень из числа ‒1 «уродом из сферы идей, двойственной сущностью, зависшей между бытием и небытием». Лишь в 1830-х, когда операциями с комплексными числами занялся немец Карл Гаусс (который и ввел этот термин), все признали: искусство извлечения кубических корней из отрицательных значений может принести массу пользы и новых открытий.

В 1833 г. ирландский математик Уильям Гамильтон (1805–1865) начал эксперименты со свойством комплексных чисел указывать направление поворота в системе координат. Уильяму хотелось научиться умножать тройки комплексных чисел, чтобы получать целостную картину вращения в трехмерном пространстве, но он понятия не имел, как это сделать. Переживая за отца, дети даже спрашивали: «Пап, ну как там у тебя с умножением?» На что Уильям неизменно отвечал: «Пока никак». Решение пришло 16 октября 1843 г. во время утренней прогулки: ученый понял, что умножать нужно не три, а четыре числа, и сразу же нацарапал на мосту формулу, в которой были три мнимые единицы, равные квадратному корню из числа ‒1 и указывающие на повороты и вращения в четырех измерениях. Исходя из этого равенства, Гамильтон описал векторное четырехмерное пространство формулой a + bi + cj + dk , где a, b, c, d — обычные числа, а i, j, k — те самые мнимые единицы, и назвал его кватернионом (по примеру тетрактиса, смоделированного Пифагором в качестве символа вселенской гармонии).

В ноябре Гамильтон наконец представил свое открытие членам Британской академии наук, и восхищенные ученые (среди которых был и физик Джеймс Максвелл) в один голос заявили, что это переворот в изучении свойств пространства. Ныне кватернионы активно используются в робототехнике и компьютерной графике, да и вообще комплексные числа очень помогают разработчикам электрических приборов и средств связи.

О том, что между всеми жизненными процессами существует тесная взаимозависимость, которую можно выразить числами и рисунками, человечество догадалось очень-очень давно. Даже пещерный житель знал: чем быстрее бежишь за зверем, тем меньше времени потратишь на то, чтобы его поймать; чем больше притащишь добычи, тем больше дней будешь отдыхать, не заботясь о пропитании; чем сильнее растирать замерзшее тело, тем быстрее и выше поднимется его температура и так далее.

Вавилоняне в III–II тысячелетиях до н. э. уже вовсю использовали таблицы зависимостей разнообразных величин (мы бы сказали, функций), когда сооружали здания или отслеживали изменение положения небесных тел. Как изменится площадь помещения, если длину стены возвести в квадрат или куб? Как соотносятся площади квадрата и вписанного в него круга при увеличении либо уменьшении фигур? А что будет с площадью круга, если изменится его радиус? Да-да, именно вавилонские ученые первыми рассчитали площадь круга по произведению квадрата радиуса и числа пи (пусть и сильно округленного).

В Египте уже умели отображать взаимосвязи разных величин на чертежах. Это было очень удобно, ведь правители взимали с граждан подати в зависимости от размера земельного участка, и график соответствия сумм и площадей был очень кстати.

В III–II вв. до н. э. греческий ученый Аполлоний Пергский показал, что сечения конуса — это по сути графическое изображение функций, множество точек на плоскости, которые показывают связь между двумя величинами и изменения одной в зависимости от другой. Дело в том, что сечения классического кругового конуса представляют собой кривые линии, образующиеся при пересечении фигуры плоскостью под разными углами. Используя пары конусов, установленных «нос к носу», ученый рассек их дощечками и получил срезы в виде овала, параболы (в этом случае плоскость шла параллельно стенке конуса) и «двурогой» гиперболы — чтобы получить такое сечение, пришлось прорезать плоскостью оба конуса.