Бен Орлин - Время переменных. Математический анализ в безумном мире

Это история о том, как рождаются вирусные сенсации. Решайте сами, что это будет: может быть, хулахупы, кубики Рубика, тамагочи или дешевый вариант последних, который еще называют iPhone. Но это не обязательно должна быть игрушка! Вы можете выбрать лингвистику, технологию, социальную сеть, образование опухолей или популяцию кроликов. Что угодно, что бы ни пришло вам в голову и, как это обычно бывает с повальными увлечениями, что тут же хочется получить всем вокруг.

«Как, – спросите вы, плюясь от возмущения, – как одна глава может годиться на любой случай жизни, как вы можете предлагать каждому выбрать свое собственное приключение?»

Ну, потому что на самом деле это история кривой. Эта кривая:

Эта основная модель, которая называется логистической кривой , – одна из величайших математических моделей, не говоря уж о том, что она является триумфом элементарного математического анализа. И, как и любая классическая пьеса, она разыгрывается в трех актах.

Акт I. Ускорение.

Когда мы что-то начинаем, наше увлечение еще не является модным веянием. Это всего лишь дикая прихоть. «Я буду продавать камень как питомца», – говорит какой-то сумасшедший. «Я поставлю танец с необычными движениями рук, и весь мир будет восторженно кричать: “Эй, макарена!”» Или даже: «Я введу в компьютер странички с фотографиями лиц и стану тем самым Цукербергом, Разрушителем миров».

Звучит как иллюзорная мечта? Возможно. Но вначале рост идет медленно.

Но дела обстоят не так безрадостно, как кажется. Во время неблагоприятного начала рост на самом деле идет по экспоненте .

Слова «экспонента» или «экспоненциальный» проникли в обычный язык, как некоторые другие математические термины. («Внутреннее произведение» и «двудольный граф» все еще пребывают в трагическом забвении.) Тем не менее, как это всегда бывает, когда альтернативная рок-группа добивается успеха, по пути кое-что утрачивается. Об экспоненциальном росте обычно говорят как о синониме «очень быстрого», но его математическое значение гораздо более чудесно и точно: величина растет пропорционально своему размеру.

Другими словами, чем она больше, тем быстрее растет.

При линейном росте за каждый период времени прибавляется одно и то же количество. Это может происходить медленно, как прибавление одного кольца к стволу дерева каждый год. Или это может быть быстро, как рост мутантного дерева в сказке о Джеке и бобовом зернышке, когда каждое новое кольцо прибавлялось за миллисекунду. Важна не скорость, а постоянство. Если темп роста никогда не меняется, то он является линейным.

В противовес этому возьмем, к примеру, стартап, чья прибыль растет на 8 % каждый месяц. Поначалу 8 % от мизерного количества – это сущая безделица. Но со временем компания расширяется, и эти 8 % соответствуют все большим и большим цифрам. За девять месяцев доход удваивается, а за десять лет фирма превращается из гусеницы с выручкой в $1000 в месяц в огромную бабочку с прибылью в $8 млн в месяц. Дайте ей еще десять лет, и она станет громадиной с ежемесячным доходом в $1 трлн – 15 % мирового ВВП. Вот это и есть экспоненциальный рост.

Вы можете уловить суть этого различия по двум коротким уравнениям:

Но медовый месяц с экспонентой не может длиться вечно, иначе любое массовое увлечение захватило бы всю Вселенную. В реальности подобное пока что случалось только дважды: с крупяными куклами [17] Матерчатая кукла, заполненная крупой или пластиковыми шариками. – Прим. пер. и деббингом [18] Танцевальное движение, когда человек прячет лицо в согнутом локте и поднимает вторую руку. – Прим. пер. . Немного времени спустя нас ждет акт II – Перегиб кривой.

Как и «экспоненциальный рост», выражение «точка перегиба кривой» перекочевало в обычный язык из учебников математики. Я сам всегда аплодирую вирусному распространению математического жаргона, но должен отметить, что фраза: «момент, когда рост неожиданно становится взрывным» – придает точке перегиба кривой почти противоположное значение.

При росте по логистической кривой перегиб происходит не в момент, когда начинается быстрый рост. Он происходит, когда быстрый рост доходит до кульминации, до своего максимума, и, таким образом, начинается долгое, медленное понижение.

Производная, как вы помните, говорит нам об изменениях графика. Положительная производная? Он растет. Отрицательная? Снижается.

Вторая производная говорит нам о том, как меняется первая производная – то есть о самом темпе роста. Положительная вторая производная? Тогда наш рост ускоряется. Отрицательная вторая производная? Он замедляется.

Точка перегиба кривой – это момент перехода, когда вторая производная меняет знак: отрицательный на положительный или (при росте по логистической кривой) положительный на отрицательный. После того как скорость растет и растет, как у потерявшего управление поезда или заигранного хита, ускорение, наконец, останавливается, и рост начинает замедляться.

Это особый момент в истории массовых увлечений – триумф с привкусом горечи, поскольку все вершины достигнуты. В случае, скажем, с Instagram – это месяц, когда к нему присоединилось наибольшее количество пользователей. Социальная сеть еще не получила свое самое широкое распространение, но пик самого быстрого распространения пройден. Она расширялась быстрее, чем когда-либо ранее, и такого роста не будет уже никогда. Согласно графику то, что произойдет дальше, – это зеркальное отражение первоначальной траектории: каждому моменту ускорения теперь соответствует спад.