Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Пока никому так и не удалось найти простое или однозначное разрешение парадокса лжеца. Многие из тех, кто с ним сталкивается, либо с порога отвергают его как бессмысленную игру слов, либо говорят, что предложения хоть и корректны грамматически, но лишены реального содержания. И те и другие просто пытаются опровергнуть существование парадокса, но их возражения не выдерживают критики. Первые просто отказываются признавать, что проблема существует. Вторые утверждают, что предложения бессмысленны, на том основании, что они ведут к парадоксу. По формальным признакам фраза “Это утверждение ложно” ничем особенно не отличается от фразы “Это предложение не на французском языке”. Как же может первое не иметь смысла, если второе совершенно осмысленно?

Вроде бы никакой реальной пользы парадоксы не приносят – забавные головоломки, и только. Но среди них есть такой (тоже содержащий внутреннее противоречие), что сыграл поистине историческую роль в развитии одной из фундаментальных областей математики. Нагляднее всего он представлен в виде так называемого парадокса брадобрея. Некий брадобрей заявляет, что бреет всех, кто не бреется сам. В результате перед ним встает дилемма: бреет ли он сам себя? Если да, значит, он не обращается к брадобрею, то есть не бреет сам себя. Если же нет, значит, его бреет брадобрей, то есть он таки бреет сам себя. В более абстрактной форме этот же парадокс сформулировал в 1902 году английский философ и логик Бертран Рассел в письме немецкому философу и логику Готлобу Фреге, причем в крайне неудачный для Фреге момент. Тот как раз собирался отправить издателю рукопись второго тома своего монументального труда Die Grundlagen der Arithmetik (“Основания арифметики”). В своем письме Рассел обратил его внимание на странный математический объект – множество всех множеств, не включающих себя, – после чего задал вопрос: включает ли это множество само себя? Если да, то оно не принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а значит, оно не включает себя. Если же нет, то оно принадлежит множеству всех множеств, не включающих себя, а стало быть, включает себя. Такой монстр, с ужасом осознал Фреге, никак не вписывался в теорию множеств, разработке которой он посвятил многие годы и которая теперь, похоже, была повержена и дискредитирована, так и не увидев света дня.

Парадокс Рассела, как его стали называть, вскрыл неустранимое противоречие “наивной” теории множеств, разработанной Фреге. Слово “наивный” в этом контексте указывает на ранние формы теории множеств, не основанные на аксиомах и предполагающие существование такого понятия, как “универсальное множество” – содержащее все объекты математической вселенной. Прочитав письмо Рассела, Фреге тут же понял его огромную важность. В ответном послании он написал:

Открытое вами противоречие стало для меня величайшей неожиданностью – и вынужден признаться, что я даже испугался, поскольку оно сотрясло самые основы, на которых я намеревался выстроить [свою] арифметику [36] Ливио М. Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса . М.: АСТ, 2016. . ‹…› Все усугубляется тем, что с утратой правила V не только основания моей арифметики, но и единственно возможные основания арифметики, похоже, рассыпаются в прах.

Наличие этого парадокса в основе столь любовно выстроенной Фреге теории значило, что практически любое следовавшее из нее утверждение было одновременно и истинным, и ложным. А как известно, любая логическая система, в которой вскрывается парадокс, становится бесполезной.

Открытие на заре XX столетия парадокса Рассела, таящегося в самом сердце логики и математики, пошатнуло сами основания этих наук. Теперь ни одно доказательство нельзя было признать безусловно достоверным, ни одну теорию невозможно было убедительно обосновать. Нет, конечно, с чисто практической точки зрения в математике мало что изменилось: 2 + 2 по-прежнему равнялось 4, а утверждение, что 2 + 2 = 5, как и раньше, оставалось ложным. Тревогу вызывал тот факт, что теперь не было никакой возможности доказать эти утверждения. Да что там дважды два – вообще ничего в математике больше невозможно было доказать. Уж на что нерушимой твердыней казалась теория множеств, разработанная – в той форме, что существовала в поздние викторианские времена, – такими учеными, как Георг Кантор и Рихард Дедекинд (о которых мы еще поговорим в десятой главе, посвященной бесконечности), Давид Гильберт (с ним мы впервые встретились в первой главе, а потом еще раз в пятой, когда обсуждали машину Тьюринга) и Фреге, – и та трещала по швам. Крушение наивной теории множеств началось с парадокса о трансфинитных порядковых числах, известного как парадокс Бурали-Форти, хотя первым, кто осознал его тревожные последствия для теории около 1896 года, был Кантор. После того как Рассел окончательно добил ее своим парадоксом, математикам стало ясно: придется либо отступить от веры в доказательство, либо найти альтернативу наивной теории. Поскольку первое было совершенно немыслимо, нужно было каким-то образом с нуля выстроить всю теорию множеств заново, причем так, чтобы с самого начала исключить малейшее подозрение даже на возможность парадокса.

Решение заключалось в разработке так называемых формальных систем. В отличие от наивной теории множеств, выросшей из предпосылок, основанных на здравом смысле, и правил, сформулированных на естественном, неформализованном языке, новый подход требовал исходно определить конкретный набор аксиом. Аксиома – это утверждение или положение, имеющее точную формулировку и изначально принимаемое истинным. У каждой системы может быть свой набор аксиом, каждый автор вправе выбрать для создаваемых систем свои. Но после того, как набор аксиом той или иной формальной системы определен, любые утверждения, которые в рамках этой системы могут характеризоваться как истинные или ложные, должны строиться только из этих изначальных положений. Ключ к успеху любой формальной системы – в тщательном отборе аксиом: они не должны оставлять ни малейшей лазейки для коварных непрошеных гостей вроде парадокса лжеца.

Иногда парадоксом называют то, что на самом деле им не является: всего лишь истинное утверждение, в которое трудно поверить, или, наоборот, ложное, которое кажется очевидным. Классический пример: парадокс Банаха – Тарского. Он гласит, что можно взять шар, разрезать его на конечное число частей и составить из них два шара, каждый из которых будет того же объема, что и первый. Кажется безумием, поэтому сразу оговоримся, что речь здесь идет не о реальном шаре, остром ноже и тюбике суперклея. И пусть вас не беспокоит, что какой-нибудь предприимчивый делец сможет разрубить на части золотой слиток, а потом собрать из них два новых такого же размера. Парадокс Банаха – Тарского не сообщает нам ничего нового об окружающем мире, зато очень много – о том, как знакомые понятия “объем”, “пространство” и другие могут принимать совершенно незнакомое обличье в абстрактном мире математики.