Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Польские математики Стефан Банах и Альфред Тарский объявили о своем сенсационном выводе в 1924 году. Он был основан на более ранних работах итальянского математика Джузеппе Витали, доказавшего, что возможно разрезать единичный отрезок (то есть отрезок прямой от 0 до 1) на счетное количество частей и поменять их местами так, чтобы получился отрезок длины 2. Парадокс Банаха – Тарского, который также называют парадоксом удвоения шара (хотя на самом деле это вовсе не парадокс, а доказанная теорема), заостряет внимание на том факте, что в бесконечном множестве точек, составляющих математический шар, понятия объема и меры не могут быть определены для всех возможных подмножеств. Суть в том, что величины, которые можно измерить обычными способами, не обязательно сохраняются, когда шар сначала разбивают на подмножества, а потом эти подмножества снова собирают, но по-другому, используя только параллельные переносы (сдвиги) и вращение (повороты). Эти неизмеримые подмножества невероятно сложны, не имеют четких границ и объема в привычном нам смысле и попросту недостижимы в реальном мире, состоящем из вещества и энергии. Да и потом, парадокс Банаха – Тарского не описывает, как именно получить эти подмножества, а лишь доказывает, что они существуют.

Парадоксы бывают самые разные. Какие-то из них – на самом деле просто наши собственные логические ошибки. Другие поднимают интересные вопросы об очевидных, казалось бы, вещах. А есть и такие, что могут угрожать существованию целой области математики, но зато дают возможность перестроить ее на более прочном фундаменте.

Имеет ли пространство предел? Было ли у времени начало и наступит ли когда-нибудь конец? Существует ли самое большое число? Даже в детстве мы задаем такие вопросы. У любого человека рано или поздно возникает интерес к бесконечности. Но бесконечность – это не какое-то туманное и расплывчатое понятие, а объект строгих исследований. И результаты этих исследований порой столь парадоксальны, что в них трудно поверить.

Безграничное – предмет дискуссий философов, теологов и искусствоведов. Американский джазовый гитарист и композитор Пэт Мэтини как-то сказал: “В музыкантах я ищу чувство бесконечности”. Английский поэт и художник Уильям Блейк считал, что наши ощущения мешают нам оценить истинную природу вещей и что “если двери восприятия очистить, все сущее явится человеку таким, какое оно есть, – бесконечным” [37] Хаксли О. Двери восприятия. СПб.: Азбука-классика, 2007. . Французский писатель Гюстав Флобер предупреждал об опасности, подстерегающей тех, кто слишком об этом задумывается: “Чем ближе подходишь к бесконечности, тем больше погружаешься в ужас”.

Ученым также приходится время от времени сталкиваться с бесконечностью, и эти встречи не всегда приятны. В 1930-х годах физики-теоретики, исследуя свойства элементарных частиц, обнаружили, что получающиеся при расчетах значения раздуваются до бесконечности, или, другими словами, стремятся к ней. Такое происходило, например, когда радиус электрона принимали за ноль, как это следовало из результатов экспериментов по электрон-электронному рассеянию. Расчеты показывали, что энергия окружающего частицу электрического поля в этом случае бесконечно велика, что абсурдно. Конфуза в конце концов удалось избежать с помощью математического приема под названием “перенормировка”. В квантовой механике это сегодня стандартная уловка, хотя кое-кого из физиков до сих пор смущает ее произвольный характер.

Теперь посмотрим, что происходит на другом конце физической шкалы. Космологов интересует, ограниченны ли размеры Вселенной, или она простирается бесконечно во всех направлениях. Сегодня мы этого просто не знаем. Та часть Вселенной, которую мы можем видеть (по крайней мере, в принципе), – так называемая наблюдаемая Вселенная – имеет в поперечнике приблизительно 92 миллиарда световых лет, где световой год – это расстояние, преодолеваемое светом за один год. Наблюдаемая Вселенная – это та часть всей Вселенной, из которой свет успел с момента Большого взрыва достичь Земли. За ее пределами вполне может находиться гораздо большее по размерам, возможно бесконечное, пространство, добраться до которого нам никакими способами просто не под силу.

С тех самых пор, как Эйнштейн разработал общую теорию относительности, мы знаем, что пространство, в котором мы живем, может искривляться, подобно тому как искривлена, например, поверхность сферы – разница лишь в том, что наше пространство имеет три измерения, а не два. Если выразиться более строгим языком, пространство-время (а они неразрывно связаны друг с другом) далеко не всегда подчиняется знакомым нам еще со школы правилам геометрии. Нам точно известно, что в локальном масштабе пространство-время искривлено: вокруг любых объектов, имеющих массу, таких как Солнце или Земля, оно изгибается, словно лист резины, если на него положить груз. А вот является ли вся Вселенная искривленной (неевклидовой) или же плоской, мы пока не знаем. Этим живо интересуются космологи, поскольку от формы Вселенной в конечном итоге зависит ее судьба.

Изображение скопления галактик S1077 по каталогу Эйбелла, полученное космическим телескопом “Хаббл”.

Если Вселенная в глобальном масштабе искривлена, то она может иметь замкнутую форму – как сфера или бублик. Тогда ее размеры будут ограниченны, хотя достичь рубежа или края все равно не получится, сколько ни старайся. Другой вариант – Вселенная в форме некоего седла, продолженного неопределенно далеко. В этом случае она может либо быть “открытой” и простираться бесконечно, либо все же иметь конечный размер. Кроме того, Вселенная в целом может быть и плоской – и опять-таки либо конечной, либо бесконечной. Независимо от того, какой из вариантов окажется истинным, если вначале Вселенная имела конечный размер, то она такой и останется (хотя может продолжить расти), а если она бесконечна, значит, такой всегда и была. Представление о том, что Вселенная всегда была бесконечной, на первый взгляд, противоречит общепринятой теории Большого взрыва, согласно которой разлет вещества и энергии происходил из области, изначально гораздо меньшей размера атома. Но никакого противоречия на самом деле нет: эта исходно крохотная область воплощала собой лишь размер наблюдаемой Вселенной (той самой, определяемой расстоянием, которое свет был способен преодолеть) через долю секунды с момента Большого взрыва. Вселенная же в целом вполне могла быть бесконечной изначально, хотя это и невозможно было бы увидеть. Что тот, что другой вариант – и бесконечную в пространстве и времени Вселенную, и конечную – не так-то просто охватить разумом, но представить себе конечную Вселенную, вероятно, все же труднее. Как писал философ Томас Пейн: “Неописуемо трудно понять, что пространство не имеет конца, но еще труднее понять его конечность. Выше сил человека постичь вечную протяженность того, что мы называем временем, но еще невозможнее представить время, когда не будет времени” [38] Пейн Т. Избранные сочинения . М.: Издательство Академии наук СССР, 1959. .