Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Споры о том, верна ли континуум-гипотеза и даже есть ли в ней вообще смысл, не утихают среди математиков и философов до сих пор. Что же касается характера различных видов бесконечности, да и самого существования бесконечных множеств, здесь все зависит от того, какой теорией чисел пользоваться. Разные аксиомы и правила дают разные ответы на вопрос “Что же лежит за пределами всех целых чисел?”. Из-за этого довольно трудно, а то и просто бессмысленно сравнивать различные виды бесконечности и пытаться определить их относительный размер, хотя в пределах конкретной системы чисел бесконечности обычно можно без труда расположить в четком порядке.

За пределами алеф-нуля существует внушительная иерархия кардинальных чисел. Если предположить, что континуум-гипотеза верна (а с этим предположением по умолчанию согласны большинство математиков, поскольку из него можно вывести полезные следствия), то следующим по величине бесконечным кардинальным числом будет алеф-один, равный мощности множества всех действительных чисел, или, иначе говоря, общему количеству возможных способов, какими можно упорядочить элементы множества мощностью алеф-ноль. За ним следует алеф-два (равный числу способов упорядочить элементы множества мощностью алеф-один), затем алеф-три, алеф-четыре и так далее, без конца. Каждому алефу соответствует бесконечное число ординалов, наименьший из которых для алеф-нуля – ω , для алефа-один – ω 1, для алефа-два – ω 2и так дальше. Хотя число алефов бесконечно и каждый следующий бесконечно больше предыдущего, это не мешает математикам задумываться о кардинальных числах, величина которых превосходит величину любого мыслимого алефа. Для этого они вынуждены выходить за пределы привычных теоретических основ своей дисциплины и прибегать к так называемым аксиомам форсинга. Метод форсинга (или вынуждения) был впервые применен уже упоминавшимся выше Полом Коэном. Его использование привело к возникновению понятия “больших кардинальных чисел”. Несмотря на скромное название, в реальности они чудовищно велики. Некоторые из них даже имеют собственные имена, такие как кардиналы Мало или сверхкомпактные кардиналы.

И наконец (по крайней мере, на сегодня), существует понятие “абсолютной бесконечности”, иногда обозначаемой прописной буквой омега (Ω), – бесконечности, которая превосходит все остальные. О ней говорил и сам Кантор, но больше в религиозном контексте. Он был убежденным лютеранином, чьи христианские принципы подчас находили отражение в научных трудах. Для него Омега (если она существовала) могла воплощаться только в божественном разуме, в который он верил. При таком подходе Омега – чистая метафизическая абстракция. С математической точки зрения абсолютная бесконечность не может иметь строгого определения, а потому математики (если только их не потянуло на философию) обычно ее игнорируют. Есть соблазн охарактеризовать ее как количество элементов в универсуме всех множеств – так называемом универсуме фон Неймана. Но этот универсум на самом деле не множество (скорее класс множеств), поэтому с его помощью невозможно дать определение конкретному виду бесконечности, будь то кардинальное число или ординал. Споры вызывают также попытки рассматривать Омегу как наиболее осмысленный результат деления единицы на ноль. Математика эту процедуру не признает, хотя в некоторых видах геометрии, например в проективной геометрии, такое возможно – отсюда возникают понятия “бесконечно удаленной точки” и “бесконечно удаленной прямой”. Поиск Омеги продолжат будущие поколения математиков, логиков и философов. Ну а нам пока тоже есть чем заняться: бесконечностей у нас более чем достаточно, одна бесконечно больше другой.

И напоследок еще одна мысль: а имеют ли математические бесконечности какое-либо воплощение в реальном мире, или же это чистые абстракции? Как мы уже узнали, космологи склонны считать Вселенную, в которой мы живем, геометрически плоской и бескрайней в пространстве и времени. Если она действительно бесконечна, то какой математической бесконечности она соответствует? То, что пространство и время делятся на дискретные кусочки – планковскую длину и планковское время, – означает, что они не непрерывны, не слитны, как точки на математической прямой. Значит, если реальная вселенная бесконечно велика, похоже, с ней можно соотнести только наименьшую из бесконечностей, алеф-ноль. А все, что больше, возможно, всегда будет существовать только у нас в голове или в каком-нибудь платоновом пространстве, которому нипочем законы физики.

Попросите ребенка назвать самое-самое большое число – и, скорее всего, услышите в ответ что-то вроде “пятьдесят тысяч миллионов миллиардов триллионов триллионов…” и так далее, пока объект расспросов не устанет нанизывать одно на другое реальные числа вперемешку с “сиксиллионами” и “мультиллиардами”. По житейским меркам это и вправду очень большие числа, может быть, даже превышающие количество всех живых существ на Земле или звезд во Вселенной. Но по сравнению с умопомрачительно гигантскими числами, которые способны конструировать математики, – просто детские шалости. Если бы вам вдруг взбрело в голову провести остаток своей сознательной жизни, произнося “триллион триллионов триллионов триллионов…” и так далее со скоростью один “триллион” в секунду, то получившееся в итоге число было бы просто мизерным по сравнению с монстрами числового космоса, с которыми мы познакомимся в этой главе: такими как число Грэма, TREE(3) и поистине исполинское число Райо.

Известно, что одним из первых систематически начал задумываться об очень больших числах Архимед. Он родился в Сиракузах на острове Сицилия около 287 года до нашей эры и считается величайшим математиком древности и одним из самых великих в истории человечества. Он задался вопросом: сколько всего на свете песчинок и сколько вообще их можно вместить в целый мир, который, как считали древние греки, простирается до сферы “неподвижных звезд” (так, в отличие от планет, они называли звезды, видимые на ночном небе). Его трактат “Исчисление песчинок” начинается так:

Некоторые люди полагают, государь Гелон, что число песка по величине бесконечно; я говорю не только о песке, который имеется в окрестностях Сиракуз и остальной Сицилии, но и о том, который имеется во всех странах, как населенных, так и не населенных. Есть, однако, и такие, которые не считают его бесконечным, но тем не менее думают, что не существует такого имеющего название числа, которое было бы больше его количества [43] Архимед. Сочинения . М.: ГИФМЛ, 1962. .