Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Основная помеха на нашем дальнейшем пути – обозначение всех этих чисел. Буквы в греческом алфавите рано или поздно заканчиваются; есть свой предел и у всех остальных систем, используемых для обслуживания нескончаемой иерархии бесконечных ординалов. Помимо разработки более эффективной и компактной формы записи гигантских бесконечных ординалов есть и другие технические трудности. Оставив далеко позади дзета-ноль, на пути в бесконечность мы то тут, то там встречаем порядковые числа, увековечившие имена описавших их математиков: ординал Фефермана – Шютте, малый и большой ординалы Веблена (и тот и другой – чудовищно большие), ординал Бахмана – Говарда, ординал Чёрча – Клини (впервые описанный американским математиком Алонзо Чёрчем и его студентом Стивеном Клини). Чтобы толком рассказать про любой из них, потребуется отдельная книга – настолько сложные и запутанные расчеты лежат в их основе. Ординал Чёрча – Клини, например, столь непостижимо велик, что для него просто не существует способа обозначения.

Перечисленные ординалы редко встречаются даже в практике профессиональных математиков, не говоря уже о неспециалистах. Объединяет их то, что все они счетные . Другими словами, все бесконечные ординалы, о которых мы говорили до сих пор, начиная с ω , можно поставить в соответствие натуральным числам, один к одному, что логично, поскольку все эти последовательности – лишь результат перегруппировки тех же натуральных чисел. Иначе говоря, все эти множества имеют одинаковую мощность, или размер, – алеф-ноль. Какие из порядковых чисел ни возьми, хоть эпсилон-ноль, хоть даже непомерно большой ординал Чёрча – Клини, они ни на миллиметр не приблизят нас к “большей” бесконечности: ведь это просто разные способы упорядочивания натуральных чисел. Бо́льшая бесконечность – это та, что лежит за пределами алеф-нуля. Но как такое возможно?

Алеф-ноль ведет себя не так, как привычные нам числа. Если 1 + 1 дает в результате 2, то алеф-ноль + 1 – все равно алеф-ноль. Алеф-ноль плюс любое конечное число или минус любое конечное число остается алеф-нулем. Известная детская песенка при этом приобретает новый, более оптимистичный характер: “Алеф-ноль поросят резвились на просторе, / Алеф-ноль поросят пошли купаться в море. / Один из них утоп, ему сложили гроб, / И вот вам результат: / Эх, алеф-ноль поросят” (повторять бесконечно). Алеф-ноль невозможно изменить вычитанием, сложением или умножением на какое бы то ни было конечное число и даже на само себя. Но Кантору удалось доказать с помощью теоремы, носящей сегодня его имя, что все бесконечности выстраиваются в иерархию и алеф-ноль – самая маленькая из них. Следующее бесконечное кардинальное число, алеф-один, гораздо больше и равно размеру множества всех счетных ординалов, а именно тех, которым соответствует кардинальное число алеф-ноль. Наглядно продемонстрировать ординалы, соответствующие мощности алеф-один, в виде последовательности непросто. В качестве примера можно привести множество {0, 1, 2, …, ω, ω + 1, …, ω × 2, …, ω 2, …, ω ω , …, ε 0, …}, включающее все счетные ординалы (то есть все различные возможные “длины”, которые можно получить путем перестановки натуральных чисел). Ординал такого множества, его порядковое число – омега-один (наименьший ординал, соответствующий алефу-один).

Напомним, что значит “счетный”: это попросту последовательность или множество, элементы которых можно посчитать, пронумеровать. Иными словами, “счетным” мы вправе назвать то, из чего можно составить последовательность, пусть и не обязательно упорядоченную привычным образом. Иногда для этого требуется некоторая перестановка, как в случае с отелем Гильберта. Поскольку все натуральные числа счетные, алеф-ноль, то есть мощность множества натуральных чисел, называют счетно-бесконечным кардинальным числом. Ему соответствует наименьший бесконечный счетный ординал ω , а также бесконечно много других счетно-бесконечных ординалов. Существование этого бесконечного количества счетных ординалов обусловлено тем, что в случае порядковых чисел существенную роль, как подсказывает их название, играет порядок элементов, а потому между ординалами требуется проводить более тонкое различие, чем между кардинальными числами. Несмотря на это, все счетные ординалы, начиная с ω и дальше, включая числа эпсилон и остальные, соответствуют одному и тому же кардинальному числу – алеф-нулю. Но вот с переходом к алефу-один все разительно меняется. Алеф-один не только неописуемо больше, чем алеф-ноль, он еще и несчетный . Ему соответствует наименьший несчетный ординал: омега-один ( ω 1).

Мы уже говорили, что алеф-один – это размер множества счетных ординалов, но можно ли его описать как-то по-другому? С алефом-ноль все понятно: это мощность множества натуральных чисел. А нельзя ли и алефу-один поставить в соответствие что-нибудь знакомое, доступное для понимания? Кантор считал, что можно. Он утверждал, что алеф-один идентичен общему количеству точек на математической прямой, которое, как он установил, в свою очередь, равно количеству точек на плоскости (как бы невероятно это ни звучало) или в пространстве любой другой размерности. Эта бесконечность пространственных точек, называемая континуумом и обозначаемая буквой c , является также множеством всех действительных чисел (включающим в себя все рациональные числа плюс все иррациональные). Действительные числа, в отличие от натуральных, сосчитать невозможно. Предположим, вас спросили бы, какое число следует в ряду действительных чисел за 357. Как бы вы ни тасовали действительные числа, какими бы способами ни пытались их пронумеровать, все равно останутся те, что вы никогда не сумеете сосчитать, даже если заниматься этим вечно.

Кантор выдвинул предположение, получившее известность как “континуум-гипотеза”. Согласно ей, c равно алефу-один, или, другими словами, не существует бесконечного множества с мощностью, занимающей промежуточное положение между мощностями множества натуральных чисел и множества действительных чисел. Однако, несмотря на все старания, Кантору так и не удалось ни доказать, ни опровергнуть свою гипотезу. Сегодня мы уже знаем почему – и ответ на этот вопрос расшатывает самые основы математической науки.

В 1930-х годах ученый-логик австрийского происхождения Курт Гёдель доказал, что континуум-гипотезу невозможно опровергнуть исходя из стандартных аксиом теории множеств. Для этого он построил систему, состоящую из однозначно определенных множеств, – “конструктивный универсум” – и доказал, что все аксиомы внутри нее выполняются, а континуум-гипотеза истинна (хотя из этого и не следует, что конструктивный универсум – единственная такая система). Три десятилетия спустя американский математик Пол Коэн доказал, что и подтвердить истинность континуум-гипотезы в той же системе аксиом тоже невозможно. Иными словами, в рамках привычной для математиков системы эта гипотеза имела неопределенный статус. Возможность возникновения подобной ситуации была предсказана еще в знаменитой теореме Гёделя о неполноте, о которой мы говорили в пятой главе. Она гласит, что в любой достаточно сложной системе аксиом, если она полна, существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть (мы еще поговорим об этом подробнее, когда вернемся к теореме о неполноте в последней главе). И тем не менее факт независимости континуум-гипотезы заставил математиков понервничать, поскольку то был первый конкретный пример, когда важный для науки вопрос невозможно было разрешить, пользуясь общепринятой системой аксиом, на которой построена вся математика.