Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

Афиша конкурса Big Number Duel , проходившего в Массачусетском технологическом институте.

На сегодняшний день, если говорить о более-менее осмысленных больших числах, число Райо – своего рода граница, отделяющая нас от неизвестного. Называли и бо́льшие числа, такие, например, как BIG FOOT, объявленное в 2014 году. Но чтобы получить хотя бы смутное представление о BIG FOOT, нам придется погрузиться в странную область под названием “вселенная куч” ( oodleverse ) и выучить язык теории куч первого порядка – а здесь не обойтись без ученой степени в области высшей математики и очень своеобразного чувства юмора. Да и в любом случае все самые большие на сегодня числа построены по тому же принципу, что и число Райо.

Чтобы еще глубже проникнуть в бескрайнее пространство чисел, гугологам нужно развивать существующие методики или разрабатывать новые, так же как освоение все более дальних просторов космоса требует новых прорывов, больших и малых, в двигателестроении. А пока охотникам за большими числами придется полагаться на те же приемы, что использовал Райо, только применять их уже к расширенной версии теории множеств первого порядка. Можно, например, добавить в нее аксиомы, которые позволят оперировать бесконечностями еще более грандиозного масштаба, а с их помощью уже генерировать новые рекордные конечные числа.

Если говорить начистоту, вся эта суета с описанием больших чисел ради рекордов не слишком волнует профессиональных математиков, так же как они не видят особого смысла в вычислении все большего и большего количества знаков числа пи. Гугология все же скорее хобби – этакий интеллектуальный мачизм, гонки NASCAR для специалистов по теории чисел. В то же время нельзя сказать, что пользы от нее никакой: она помогает нам осознать пределы нашей сегодняшней математической вселенной, подобно тому как наблюдение небесных тел с помощью самых мощных телескопов раздвигает границы физического космоса.

Заманчиво думать, что огромные числа вроде числа Райо дают нам возможность немножко приблизиться к бесконечности. Но на самом деле это не так. Бесконечные числа можно использовать для получения конечных, но конечное и бесконечность никогда не сольются. Правда в том, что, как бы мы ни старались, какие бы методики ни изобретали для описания все бо́льших и бо́льших чисел, мы ни на шаг не ближе к бесконечности, чем в детстве, когда умели считать только до трех.

В одной старой шутке говорится, что тополог – это человек, неспособный отличить кофейную чашку от бублика. Хотя точнее было бы сказать, что это человек, для которого различие между ними несущественно. В топологии чашка и бублик эквивалентны, поскольку (если предположить, что и то и другое сделано из пластичного материала вроде глины) из первого можно постепенной деформацией получить второе: ручка чашки превращается в отверстие бублика, а самой чашке можно придать форму кольца вокруг этого отверстия. Слово “отверстие” здесь имеет четко определенное значение. В топологии отверстие обязано иметь два конца и пронизывать предмет насквозь, как дырка у бублика, или, говоря по-научному, у тора. То, что мы в быту часто называем отверстием, – например, просверленное в стене углубление под шуруп – для тополога таковым не является, потому что оно не имеет двух входов и его можно постепенно деформировать так, чтобы оно полностью сгладилось. Если в двух словах, топология изучает такие свойства объектов, которые остаются неизменными, когда форма объекта меняется, но при этом сам он не разрезается и в нем не проделываются новые отверстия. Топология – современное расширение геометрии, порождающее множество парадоксальных выводов и дающее о себе знать в самых неожиданных местах.

В 2016 году Нобелевская премия по физике была присуждена британским ученым Данкану Холдейну, Майклу Костерлицу и Дэвиду Таулессу за работы в области так называемых экзотических состояний материи. При определенных условиях – например, при очень низких температурах – свойства материалов могут неожиданно и резко меняться. Однажды февральским утром 1980 года немецкий физик Клаус фон Клитцинг, проводя эксперименты с переохлажденными сверхтонкими образцами из кремния, помещенными в мощное магнитное поле, обратил внимание на очень странное явление. Кремний вдруг стал или проводить электричество пакетами определенной величины – сначала один, за ним другой, вдвое больше, потом еще один, втрое больше, и так далее, – или не проводить вообще. Никаких промежуточных значений, как это происходит с обычным электрическим током, не было. Это явление известно как квантовый эффект Холла, а Клитцингу за открытия в этой области в 1985 году была присуждена Нобелевская премия по физике. В процессе эксперимента кремний, очевидно, внезапно перешел в какое-то новое физическое состояние, в котором, как всегда бывает в таких случаях, произошла перегруппировка атомов. Но теоретики тщетно пытались объяснить, как подобная перегруппировка могла произойти в слое кремния настолько тонком, что для перемещения атомов внутри него вверх или вниз просто не было места. Костерлицу и Таулессу пришла в голову оригинальная идея. При охлаждении, предположили ученые, атомы кремния объединялись в завихряющиеся па́ры, которые при достижении критической температуры перехода спонтанно разделялись, образуя два миниатюрных вихря. Таулесс взялся произвести математические расчеты, объясняющие эти вихревые переходы, и обнаружил, что лучше всего явление формулируется в терминах топологии. Электроны в преобразующемся материале образуют так называемую топологическую квантовую жидкость: некое состояние, в котором они передвигаются совместно только на целое число шагов. Работая независимо от Таулесса, Холдейн обнаружил, что эти жидкости могут спонтанно появляться в сверхтонких слоях полупроводников даже в отсутствие сильных магнитных полей.

После объявления в Стокгольме лауреатов Нобелевской премии 2016 года один из членов Нобелевского комитета поднялся со своего места и достал из бумажного пакета булочку с корицей, бублик и (шведский) крендель. Между ними, отметил он, есть множество различий: разный вкус, например, – что-то соленое, что-то сладкое, – да и внешне они не похожи. Но для тополога из всех различий имеет значение только одно – количество отверстий: ноль в булочке, одно в бублике и два в кренделе. Лауреаты премии, объяснил он, нашли способ связать внезапный переход в экзотические физические состояния с изменениями в топологии, то есть фактически с “дырковатостью” соответствующих абстрактных структур. Своим открытием они указали путь к новой, чрезвычайно важной сфере применения дисциплины, породившей некоторые из самых невероятных результатов в математике.