Агниджо Банерджи - Эта странная математика. На краю бесконечности и за ним

В каком-то смысле способность видеть дополнительное измерение сродни способности различать новый цвет, который мы раньше не видели. В 1923 году французскому импрессионисту Клоду Моне в возрасте 82 лет сделали операцию по удалению помутневшего хрусталика (катаракты) левого глаза. После этого преобладающие цвета в его произведениях поменялись с теплой гаммы оттенков красного и коричневого на синие, голубые и фиолетовые. Он даже переписал некоторые свои работы, добавив, например, к белым кувшинкам оттенки голубого. Это дало основания предположить, что после операции Моне стал видеть ультрафиолетовый участок спектра. Возможность такого изменения зрения подтверждается известным фактом, что хрусталик глаза человека не пропускает свет с длиной волны меньше 390 нанометров (миллиардных долей метра) – это нижний предел фиолетового диапазона, – хотя сама сетчатка способна воспринимать свет с длинами волн до 290 нанометров, то есть ультрафиолетовый. Есть также немало более поздних свидетельств, когда после удаления хрусталика как дети, так и люди в возрасте приобретают способность видеть участок спектра за пределами фиолетового. Один из наиболее подробно описанных случаев произошел с бывшим военным летчиком, инженером из штата Колорадо Алеком Комарницким, которому заменили пораженный катарактой хрусталик на искусственный, пропускавший часть ультрафиолетового излучения. В 2011 году тестирование с помощью монохроматора в лаборатории фирмы Hewlett-Packard показало, что Комарницкий видит свет с длинами волн до 350 нанометров как темно-фиолетовый и даже различает яркость излучения, находящегося в еще более дальнем участке ультрафиолетового спектра, вплоть до 340 нанометров.

Вращение тессеракта. Вверху: традиционное изображение тессеракта как “куба в кубе”. В середине: результат вращения на небольшой угол; центральный куб начал смещаться и преобразовываться в правый куб. Внизу: в результате дальнейшего вращения тессеракта центральный куб переместился гораздо ближе к тому месту, где вначале находился правый куб. В итоге тессеракт совершает полное вращение и возвращается в первоначальное состояние. Важно, что в процессе вращения тессеракт не претерпел никакой деформации, а все видимые на иллюстрациях искажения – результат изменения перспективы.

У большинства из нас в сетчатке три типа колбочек (рецепторов, отвечающих за цветовое зрение). У основной массы людей, страдающих так называемой цветовой слепотой, а также у многих других млекопитающих, в том числе собак и широконосых обезьян, типов колбочек только два, поэтому они видят приблизительно 10 000 оттенков цветов, а не миллион или около того, как все остальные. Однако известны редкие случаи, когда в сетчатке человека удавалось обнаружить четыре рабочих типа колбочек. Такие люди (“тетрахроматы”) способны, по оценкам ученых, различать почти на сто миллионов оттенков больше, чем остальные. Но поскольку им, как и всем нам, свойственно полагать, что цветовое зрение у всех одинаковое, без специального тестирования они могут далеко не сразу осознать свои сверхспособности.

Итак, в определенных обстоятельствах люди могут видеть то, что большинству из нас недоступно. Если есть люди, видящие ультрафиолетовое излучение или различающие больше оттенков цветов, чем другие, то почему не быть и таким, которые могут видеть четвертое измерение? Судя по всему, наш мозг способен научиться обрабатывать сенсорную информацию, которую мы обычно не воспринимаем. Не исключено, что он может также научиться создавать в нашем воображении четырехмерные образы.

Сегодня компьютеры и другие передовые технологии дают нам огромное преимущество в поисках возможности визуализировать мир четырех измерений. Можно легко создать анимацию каркасной модели тессеракта – например, показать, как в процессе вращения меняется его изображение на плоском экране. Наш мозг, конечно, все равно интерпретирует то, что мы видим, как странное поведение сопряженных друг с другом кубов, а не как четырехмерное изображение. И все-таки мы сознаем, что перед нами происходит нечто необычное, что невозможно объяснить с точки зрения привычных трех измерений. Есть ли надежда, что сегодняшние (или завтрашние) технологии позволят нам увидеть четвертое измерение непосредственно?

Существует точка зрения, согласно которой, что бы там ни говорили Хинтон и другие, человек никогда не сможет по-настоящему видеть в четырех измерениях, поскольку весь мир наш безнадежно трехмерен, и мозг наш трехмерен, и весь аппарат, которым снабдила нас эволюция, способен интерпретировать получаемую от органов чувств информацию только в трехмерном контексте. Никакие усилия человеческого разума не смогут переместить частицы, из которых состоят наши тела, в иную плоскость бытия. И никакие чудеса инженерной мысли никогда не позволят нам создать четырехмерный объект, например настоящий тессеракт. Это, впрочем, никогда не останавливало писателей-фантастов, в чьем воображении то и дело возникают всевозможные странные стечения обстоятельств, приводящие к тому, что у обычного трехмерного объекта появляется дополнительное измерение. В рассказе Роберта Хайнлайна “Дом, который построил Тил”, впервые опубликованном в феврале 1941 года в журнале Astounding Science Fiction , изобретательный инженер спроектировал дом, имеющий восемь кубических комнат, расположенных в виде трехмерной развертки тессеракта. К несчастью, вскоре после завершения строительства происходит землетрясение – и дом складывается в реальный гиперкуб, а рискнувшие войти в него оказываются полностью сбитыми с толку происходящими внутри явлениями. В рассказе “Лист Мёбиуса” (1950 года) часть предельно запутанной системы Бостонского метрополитена оказывается в четвертом измерении вместе с поездом и всеми его пассажирами. Правда, в конце концов все благополучно прибывают в пункт назначения. Автор рассказа Армин Джозеф Дейч, астроном Гарвардской обсерватории (в рассказе, кстати, одна из станций метро называется “Гарвард”), обыгрывает тему бутылки Клейна – односторонней поверхности, которая может существовать только в четырех измерениях, – и ленты Мёбиуса.

Художники тоже пытались запечатлеть в своих произведениях суть четырехмерного пространства. В своем опубликованном в 1936 году “Манифесте димензионистов” венгерский поэт и теоретик искусства Карой Тамко-Ширато утверждает, что в результате эволюции искусства “литература покинула линию и вошла в плоскость… Живопись покинула плоскость и вошла в пространство… [а] скульптура вышла из замкнутых, неподвижных форм”. За этим, продолжает Тамко-Ширато, последует “художественное завоевание четырехмерного пространства, до сих пор остававшегося абсолютно лишенным искусства”. Завершенное Сальвадором Дали в 1954 году “Распятие ( Corpus Hypercubus )” объединяет классическое изображение Христа с разверткой тессеракта. В лекции, прочитанной в 2012 году в Музее Сальвадора Дали, геометр Томас Бэнчофф, консультировавший художника по математическим вопросам, связанным с его картинами, объяснял, что Дали пытался взять “объект из трехмерного мира и вынести за его пределы… Целью этого действа было изобразить одновременно две перспективы – два наложенных друг на друга креста”. Подобно ученым XIX века, пытавшимся рационально обосновать спиритуализм наличием бытия в некоем высшем пространстве, Дали использовал идею четвертого измерения, чтобы объединить религиозное с физическим.