Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Рис. 6

Если повернуть трактрису вокруг прямой Ox, то получится псевдосфера (рис. 7). Эта поверхность замечательна тем, что геометрия на ней совпадает с геометрией на куске плоскости Лобачевского. Поэтому открытие псевдосферы было очень важным этапом в развитии неевклидовой геометрии.

Рис. 7

В работах Гаусса был до конца решен вопрос о том, что такое кривизна поверхности. На повестку дня встала проблема, как определить меру кривизны пространства. Это удалось сделать одному из самых замечательных математиков XIX в.- Бернгарду Риману. [28] Риман Бернгард (1826-1866) — немецкий математик, получил ряд замечательных результатов в теории функций комплексного переменного, геометрии и других областях математики. Один из создателей общего понятия многомерного пространства (риманова геометрия).

Проблеме кривизны пространства была посвящена пробная лекция, прочитанная Риманом в 1854 г. Тогда в университетах существовал хороший обычай: начинающий преподаватель должен был прочесть лекцию для членов факультета, чтобы они могли определить его педагогические способности. Риман предложил несколько тем пробных лекций, из которых Гаусс выбрал одну, сильнее всего заинтересовавшую его — "О гипотезах, лежащих в основании геометрии". Надо полагать, что слушатели остались не слишком высокого мнения о педагогических дарованиях Римана: содержание лекции понял до конца лишь один слушатель — Гаусс.

Почти без формул и выкладок Риман развил общие идеи о многомерных многообразиях, об измерении длин в таких многообразиях, их кривизне и т. д. В лекции были поставлены интересующие до сих пор физиков-теоретиков вопросы о том, непрерывно или дискретно наше пространство, применима ли обычная геометрия к бесконечно-малым областям пространства. Глубина этих идей захватила Гаусса, и, как рассказывают очевидцы, он ушел домой в глубокой задумчивости.

Как же ответил Риман на вопрос: что такое кривизна пространства и как она измеряется? Он применил тот же способ, каким Гаусс измерял кривизну поверхности: подсчитывал сумму углов треугольника, составленного из отрезков геодезических линий, и смотрел, на сколько она отличается от π. Однако при этом возникло осложнение: ведь в пространстве через точку можно провести много плоскостей и кривизна зависит не только от того, в какой точке ее вычисляют, но и от того, в какой плоскости лежат треугольники. Поэтому Риман говорил не о кривизне в данной точке, а о кривизне в данной точке в направлении данной плоскости.

Если для всех треугольников в пространстве сумма углов равна π, тов этом пространстве верна обычная геометрия Евклида. Такое пространство не имеет кривизны, или, как говорят, оно плоское . Если же есть треугольники, сумма углов которых больше π, то кривизна пространства в соответствующих точках положительна; если же сумма углов меньше π, то отрицательна.

Таким образом, понятие кривизны пространства не содержит в себе ничего таинственного, а указывает лишь на то, что сумма углов треугольника может отличаться от предписанного Евклидом значения. Особенно интересными являются пространства, в которых кривизна во всех точках и во всех плоскостях одна и та же. В таких пространствах (их называют пространствами постоянной кривизны ) тела могут передвигаться из одного места в другое, не меняя своих размеров. Если же кривизна пространства переменна, то тело при перемещении будет менять размеры, искажаться.

Риман поставил вопрос о том, является ли искривленным реальное пространство, в котором мы живем. Он писал: "Или то реальное, что создает идею пространства, образует дискретное многообразие, или же нужно пытаться объяснить возникновение метрических соотношений чем-то внешним — силами связи, действующими на это реальное.

Решение этих вопросов можно надеяться найти лишь в том случае, если, исходя из ныне существующей и проверенной опытом концепции, основа которой положена Ньютоном, станем ее постепенно совершенствовать, руководствуясь фактами, которые ею объяснены быть не могут... Здесь мы стоим на пороге области, принадлежащей другой науке — физике, и переступать его не дает нам повода сегодняшний день".

Лишь в начале XX в. начало осуществляться предсказание Римана — вопрос о кривизне пространства перешел из области абстрактных математических рассмотрений в область конкретных физических теорий. Обдумывая причину равенства инертной и гравитационной масс, великий физик Альберт Эйнштейн создал общую теорию относительности, радикально изменившую наши представления о связи материи и пространства. Если, как уже говорилось выше, в физике Ньютона пространство никак не зависело от наполнявшей его материи, то в новой теории оказалось, что пустого пространства, то есть пространства без содержащегося в нем поля, просто не существует. Пространство и время оказались существующими не сами по себе, а лишь в неразрывной связи друг с другом и только как структурное свойство поля.

Построенная Эйнштейном теория была настолько сложна и непривычна, что многие ученые отнеслись к ней с недоверием (а другие попросту не поняли). Вдобавок ко всему, кроме равенства двух видов массы, у Эйнштейна не было никаких экспериментальных доказательств своей теории. А физики обычно признают новую теорию лишь в случае, когда она не только объясняет все известные явления,; но и предсказывает новые, еще не наблюдавшиеся.

Но среди многих неожиданных и на первый взгляд парадоксальных выводов из общей теории относительности один сравнительно легко поддавался экспериментальной проверке. По этой теории притягивающие массы должны были искривлять пространство. Поэтому надо было лишь доказать экспериментально кривизну пространства.

Физическими экспериментами было давно установлено, что свет всегда распространяется так, чтобы пройти свой путь за кратчайшее время, причем скорость света в пустоте всегда одна и та же. Поэтому за геодезические линии в пространстве принимали световые лучи (в пустоте).

Теперь для определения кривизны пространства надо было измерить сумму углов треугольника, составленного из световых лучей. Однако даже для треугольников, одной из вершин которых является звезда, эта сумма в пределах ошибок наблюдения не отличается от π. Поэтому можно сказать, что если пространство в целом и искривлено, то эта кривизна очень мала. Заметим, что безуспешные попытки доказать неевклидовость реального пространства путем прямого измерения суммы углов космических треугольников предпринимали еще Гаусс и Н. И. Лобачевский [29] Лобачевский Николай Иванович (1792-1856) — русский математик, творец неевклидовой геометрии. Является также одним из создателей современного определения функции. .