Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Следует отметить, что признание бесконечности Вселенной мирно уживалось в уме Канта и большинства его современников с верой в бога. А некоторые богословы считали, что для сотворения бесконечной Вселенной нужен более могущественный бог, чем для творения конечного мира, и потому усматривали в бесконечности Вселенной "доказательство всемогущества божия". Понадобились полувековая деятельность Вольтера и энциклопедистов, грозы французской революции, чтобы Лаплас смог ответить Наполеону на вопрос, почему в его сочинении о небесной механике не упоминается бог: "Ваше Величество! У меня не возникла необходимость в этой гипотезе".

Не зря все-таки Аристотель предупреждал о зыбкости и неясности понятия бесконечности, об осложнениях, к которым оно может привести. Вскоре после создания ныотонианской физики и математического анализа в этих науках возникли первые осложнения.

Ученики и последователи Ньютона и Лейбница с необычайной легкостью пользовались расплывчатыми и полными непостижимой загадочности понятиями бесконечно малого и бесконечно большого, решая с их помощью сложнейшие задачи астрономии, физики и механики. Запросто складывали они бесконечные множества слагаемых, не колеблясь, переносили на такие суммы правила действий над конечными суммами. И хотя основные понятия нового исчисления казались туманными для математиков, воспитанных на античной строгости, практические успехи нового исчисления заставляли всех забывать об этом. "Идите вперед, и вера к вам придет", говаривал своим ученикам видный французский математик XVIII в. Д'Аламбер [22] Д'Аламбер Жан (1717-1783) — французский математик, механик и философ, один из создателей математической физики. .

Однако к концу XVIII в. появились первые признаки неблагополучия — стали накапливаться случаи, когда некорректное применение бесконечно малых и бесконечно больших величин приводило к парадоксам. Поэтому в начале XIX в. эти величины были вновь изгнаны из математики и их место заняла идея предела. Громадную роль здесь сыграли работы Нильса Хенрика Абеля [23] Абель Нильс (1802-1829 ) — норвежский математик, доказал невозможность решения уравнений 5-й степени в радикалах, один из создателей современных критериев строгости рассуждений в математическом анализе. , Огюстена Когаи [24] Коши Огюстен (1789-1857) — французский математик, создатель теории функций комплексного переменного. Построил математический анализ на основе понятия предела. и Карла Фридриха Гаусса [25] Гаусс Карл (1777-1855) — крупнейший немецкий математик XIX столетия. Получил ряд результатов фундаментального значения в алгебре, геометрии, теории чисел, математическом анализе. , которого его современники называли "princeps mathematicorum" (первый среди математиков). Для отношения Гаусса к понятию бесконечности характерен следующий отрывок из его письма к Шумахеру [26] Шумахер Генрих (1780-1850) — немецкий астроном. , написанного в 1831 г.: "...Я протестую против употребления бесконечной величины как чего-то завершенного, что в математике никогда недопустимо. Бесконечность не нужно понимать буквально, когда речь идет собственно о пределе, к которому сколь угодно близко приближаются определенные отношения, когда другие принимаются неограниченно возрастающими".

Возникли осложнения и в космологии. Естественное предположение о равномерном распределении звезд в бесконечном пространстве неожиданно привело к парадоксу. Оказалось, что их суммарная светимость должна была бы оказаться такой, как если бы в каждой точке неба сверкало по Солнцу. Такую картину много столетий тому назад представил себе индийский поэт, воскликнувший:

Кроме этого парадокса, получившего название фотометрического, возник другой, названный гравитационным. Оказалось, что если бы в бесконечной Вселенной была лишь конечная масса материи, то вся эта материя должна была бы собраться в одном месте, в один ком. А если суммарная масса бесконечна, то при равномерном распределении произошло бы взаимное уравновешивание сил тяготения.

Оба эти парадокса можно устранить, предположив, что материя распределена во Вселенной неравномерно. Но это ведет к гипотезе о существовании центра Вселенной, что не менее удивительно, чем конечность массы во Вселенной. А кроме того, как показали современные наблюдения, в нашей Метагалактике материя распределена более или менее равномерно.

Как фотометрический, так и гравитационный парадоксы оказались устранены лишь после того, как в XX в. была создана новая теория о строении Вселенной, основанная на общей теории относительности Эйнштейна. Прежде чем рассказывать о новых представлениях, сделаем еще один экскурс в математику.

В своем романе "Астронавты" писатель-фантаст Станислав Лем писал: "Картина звездного неба менялась очень быстро. Снимки, сделанные еще вчера, не совпадали со снимками, сделанными сегодня. Казалось, что какая-то таинственная сила раздвигает звезды, словно они являются крапинками на поверхности воздушного шарика, который раздувается все сильнее и сильнее. Гравитолог Звездной экспедиции уже несколько дней не отходил от вычислительной машины. Экспедиция приближалась к тяжелой звезде, сильно искривлявшей окружающее пространство. Для определения курса корабля было необходимо непрерывно вычислять эту кривизну. Это была серьезная проверка. Люди впервые сталкивались со столь сильными полями тяготения, со столь большой кривизной. Уравнения, полученные когда-то Эйнштейном, держали теперь экзамен. От них зависел успех экспедиции и даже сама жизнь ее участников".

Наиболее непонятными в этом отрывке для читателя, незнакомого с современной математикой, являются слова о кривизне пространства — вообразить себе кривое пространство куда труднее, чем кривую линию или поверхность. Не зря, когда во второй половине XIX в. возникло это понятие, была сложена эпиграмма:

(люди никак не могут понять, что такое мера кривизны пространства).

Обычные возражения против искривленности пространства таковы. Кривую линию невозможно совместить с прямой и приходится располагать на плоскости или в пространстве. Точно так же и кривую поверхность невозможно поместить на плоскости — для этого нужно по крайней мере трехмерное пространство. Следовательно, и искривленное трехмерное пространство должно лежать в каком-то объемлющем его пространстве четырех, а то и пяти измерений. А так как никто четырехмерного пространства не наблюдал, то пространство, в котором мы живем, никак не может быть искривленным. Некоторые философы добавляли к этим рассуждениям всякие слова об идеализме, фидеизме и т. д. Зато авторам научно-фантастических рассказов идея четырехмерного пространства очень понравилась. Во многих рассказах и повестях Уэллса происходят путешествия в четвертом измерении.