Наум Виленкин - В поисках бесконечности

Вообще, при параллельном переносе по контуру любого сферического треугольника отрезок поворачивается на угол, равный избытку этого треугольника. Любопытный результат получается, если переносить отрезок вдоль экватора. На первый взгляд кажется, что он возвратится в исходную точку, не повернувшись. Но это неверно. Если все время сносить движущийся отрезок в одну и ту же точку — полюс сферы, то мы увидим, что он повернулся на 360° (рис. 4). Но это и неудивительно. Дополним экватор дугой меридиана АВ, пробегаемой в обоих направлениях. Мы получим "треугольник" ABA. В этом треугольнике два угла прямые, а третий равен 360°. Поэтому и его избыток равен 360°.

Рис. 4

Итак, измеряя сумму углов треугольника, наблюдая за поворотом параллельных при переносе по замкнутому контуру, проверяя теорему Пифагора, жители планеты убедились, что они живут не на плоскости, а на какой-то искривленной поверхности. За меру кривизны некоторого участка поверхности они приняли угол поворота отрезка, параллельно перенесенного вдоль границы этого участка. Эту кривизну можно было считать и по-другому: разбить участок на треугольники и сложить избытки всех треугольников. Ведь, если два треугольника объединяются в один, то их избытки складываются.

Оказалось, что чем больше площадь участка, тем сильнее он искривлен. Точнее говоря, избыток любого треугольника оказался пропорционален его площади:

α + β +γ — π = kS(1)

мы будем измерять углы не в градусах, а в радианах; при таком измерении сумма углов плоского треугольника равна π). Отсюда был сделан вывод, что кривизна поверхности на единицу площади всюду одна и та же. Число к и приняли за меру кривизны.

Но среди всех поверхностей есть только одна поверхность, для которой избыток треугольника на единицу площади всегда один и тот же — это сфера. Поэтому геометры Ялмеза установили, что они живут на сфере, а не на какой-нибудь другой поверхности. Без особого труда удалось даже найти радиус этой сферы. Ведь если число к не зависит от выбора треугольника, его достаточно подсчитать для одного треугольника. Возьмем, например, треугольник ABC на рис. 2, а. Его избыток равен 90°, или, в радианной мере, π/ 2. Площадь же этого треугольника равна 1/ 8площади сферы, то есть πR2/ 2. Подставляя эти значения в формулу (1), получаем, что k = 1/ R 2, а потому для любого сферического треугольника

α + β +γ — π = S / R 2 ,

где α, β, γ — его углы, S — площадь и R — радиус сферы. Полученная формула позволяет определить радиус сферы путем измерения углов и площади треугольника. Разумеется, этот способ не очень удобен, так как требует весьма большой точности измерения углов. Для измерения радиуса Земли прибегли к иному способу — измерению длины дуги меридиана, что потребовало наблюдений за звездами.

Формула (1) определяет кривизну к поверхности сферы, отнесенную к единице площади. Как мы видели, она равна 1/ R 2. Иными словами, чем больше радиус сферы, тем меньше искривлен участок ее поверхности, имеющий единичную площадь; поверхность мяча искривлена гораздо больше, чем поверхность Земли.

Гаусс предложил таким же образом измерять кривизну любой поверхности. На любой поверхности можно строить геометрию точно так же, как и на поверхности сферы. Роль прямолинейных отрезков играют при этом кратчайшие (их еще называют геодезическими) линии, то есть линии, длина которых меньше длины всех остальных линий, соединяющих данные две точки. С ними впервые столкнулись геодезисты при измерении расстояний на поверхности Земли. К слову сказать, и сам Гаусс пришел к занятиям геометрией на поверхностях после того, как он в течение нескольких лет занимался геодезическими измерениями.

Из геодезических линий можно строить треугольники, четырехугольники и т. д. При этом на любой кривой поверхности, как и на сфере, сумма углов треугольника не будет, вообще говоря, равна π. Кривизной треугольника, отнесенной к единице площади, мы снова назовем число (α + β + γ — π)/ S. Однако на произвольных поверхностях это число будет для различных треугольников различным. Более того, оно может быть для одних треугольников положительным, а для других — отрицательным (треугольники могут иметь не только избыток, но и недостаток).

Чтобы найти кривизну в какой-то точке поверхности, надо брать все меньшие и меньшие треугольники, охватывающие эту точку, и искать их кривизну, отнесенную к единице площади. В пределе мы получим кривизну поверхности в данной точке. Это определение кривизны дал Гаусс, и ее обычно называют гауссовой кривизной. Если треугольники имеют избыток, то гауссова кривизна поверхности положительна, а если сумма углов меньше π, то кривизна отрицательна.

Если поверхность выпукла, то ее гауссова кривизна во всех точках положительна, а для бублика, изображенного на рис. 5 (математики называют его тором), в одних точках гауссова кривизна положительна, а в других — отрицательна.

Рис. 5

Замечательным свойством гауссовой кривизны является то, что она не меняется при изгибании поверхности, то есть при ее преобразованиях, не изменяющих расстояний между точками. Отсюда ясно, например, что во всех точках цилиндра гауссова кривизна равна нулю. Ведь цилиндр получается изгибанием куска плоскости, а кривизна плоскости равна нулю. Равна нулю гауссова кривизна и во всех точках конуса, кроме его вершины.

На сфере во всех точках кривизна одна и та же, и притом положительна. А есть поверхность постоянной отрицательной кривизны. Ее называют псевдосферой. Она получается следующим образом.

Представим себе, что в точке A стоит человек, который держит на поводке собаку (рис. 6). Вначале собака находится в точке O. После этого она бежит по прямой Oz с постоянной скоростью, а ее хозяин бежит вслед за ней так, что его скорость все время направлена вдоль поводка. Поэтому сначала хозяин бежит в направлении AO. Но по мере того, как собака продвигается по прямой Ox, направление бега хозяина образует все меньший угол с этой прямой, причем расстояние от бегущего человека до прямой Ox становится все меньше. На рис. 6 изображена линия, по которой бежит человек. Она называется трактрисой и обладает следующим замечательным свойством: в какой бы точке M к ней ни провести касательную, отрезок этой касательной между точкой M и осью Ox имеет одну и ту же длину.