Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Если мы действительно находимся в Тихонии, такая точка зрения будет крайне пессимистичной, потому что в Тихонии вечная молодость не встречается на каждом шагу; очень немногое в этом мире вечно остается молодым. Гораздо чаще тихонские существа стареют. В приложении к нашей ситуации это должно означать, что чем больше мы уже миновали, тем меньше нам, предположительно, остается. Такое положение вещей кажется гораздо более вероятным. Но в Диконии существуют вещи и намного более странные, чем вечная молодость. Если все же окажется, что мы в Диконии, то чем дальше мы уже уплыли, тем больше нам, предположительно, остается проплыть! Такой вариант совершенно не обрадует экипаж нашей маленькой лодки!

Поэтому, не без некоторого трепета, мы начинаем считать. Предположим, что распределение ширины озер в этой стране такое же, как в нашей, только генеральная совокупность их в сто раз больше. Возможно, это распределение уже было диконским, но мы этого не замечали, потому что знали все озера поименно.

По мере того как мы осознаем, что чем дольше мы гребем, тем дольше нам, вероятно, грести, нас охватывает уныние. Например, если бы нам довелось проплыть 30 км по одному из озер родной страны и мы бы все еще не видели противоположного берега, мы заключили бы, что находимся на одном из двух озер — только у двух ширина превышает 30 км. Значит, нам оставалось бы пройти либо 15 км, либо 45. Таким образом, в родной стране нам осталось бы плыть в среднем 30 км, а не пять, как мы предполагали изначально. Мы понимаем также, что в нашей стране это рассуждение справедливо не только в отношении двух крупнейших озер, но и в любой точке маршрута. Рассмотрев все знакомые нам озера, мы с грустью приходим к осознанию общего правила: если мы уже прошли x км, можно ожидать, что нам остается пройти еще x км.

Распределение озер в нашей стране имеет диконский характер в том смысле, что чем больше мы прошли, тем больше нам, вероятно, остается. Следовательно, мы сталкиваемся с ситуацией гораздо худшей, чем экстремальное тихонское явление вечной молодости, не только в таком походе в чужие края, но и — как мы теперь понимаем — у себя дома.

Поскольку географические условия в этой огромной стране, по сути дела, такие же, как в нашей, у нас есть все основания полагать, что и распределение озер в ней выглядит так же, но самих озер гораздо больше. Чем дальше мы ушли, тем большее расстояние следует считать еще не пройденным. Но насколько большее? На что мы можем рассчитывать здесь, в стране огромных размеров, если, даже проплыв 75 км, мы все равно не видим берега?

Мы знаем, что дома, преодолев такое расстояние, мы должны были бы достигнуть берега, а если мы его не видим, значит, нам пора побеспокоиться о собственном душевном здоровье. Но в Стране ста миллионов озер ничто не гарантирует, что самое крупное озеро имеет в ширину всего 75 км. В такой огромной стране могут встречаться озера шириной в сотни и даже тысячи километров. Оказавшись в этой глуши, мы вынуждены заключить: нам следует ожидать, что до конца пути еще 75 км. А если мы проплывем еще 75 км и все еще не увидим берега, нам придется предположить, что до него остается еще 150 км.

Но есть ли у нас основания предполагать такую простую пропорциональность? Если распределение озер хорошо моделируется с использованием математики безмасштабных сетей и соответствует распределению соединений, исходящих из каждой вершины, тогда нашу оценку можно считать обоснованной. Математика говорит, что если безмасштабная сеть оказывается хорошей моделью для распределения ширины озер, то так эту ширину и следует рассчитывать. Прямо сейчас мы можем не беспокоиться о том, действительно ли эта модель описывает распределение озер. Раз мы сами придумали Страну ста миллионов озер, просто договоримся, что так оно и есть.

Рассмотрим сеть знакомств. Предположим, каждый человек в такой сети имеет в среднем 150 знакомых. Сколько знакомых можно ожидать у человека, заведомо имеющего больше этого числа знакомств? Наше плавание к дальнему берегу озера соответствует в этом случае достижению конца списка знакомств такого человека. Таким образом, мы предполагаем, что в дополнение к уже известным нам 150 знакомым у него есть еще 150, а всего 300. А если мы знаем, что у кого-то больше 500 знакомых, можем предположить, что у него — или у нее — по меньшей мере еще 500.

Даже при использовании модели безмасштабной сети есть один параметр, который мы еще не учитывали: в случае личных отношений коэффициент пропорциональности может не быть равен 1, в отличие от примера с нашими воображаемыми озерами. Он может быть больше или меньше, смотря по тому, как именно мы построили распределение.

Возьмем другой пример: исследования показывают, что в сети знакомых, вступающих в сексуальную связь, — при учете лишь гетеросексуальных контактов, — этот коэффициент ближе к двум, а может быть, и немного больше. Правда, получение точных данных затрудняется тем фактом, что мужчины в среднем сообщают о семи половых партнерах, а женщины — всего о четырех. Это число должно быть одинаковым для обоих полов; вероятно, мужчины его преувеличивают, а женщины — преуменьшают. Также можно отметить, что в выборку были включены проститутки и «эротоманы», и это могло исказить результаты опроса — но лишь в ограниченной мере, так как по данным исследований большое различие в ответах порождается реальными когнитивными искажениями у обоих полов [97] Newman (2010). .

В любом случае установлено, что и для мужчин, и для женщин значение коэффициента составляет около 2. Следовательно, если мы знаем, что у некоторого человека было по меньшей мере четыре половых партнера, можно предположить, что их у него было еще восемь. Отметим, что это всего лишь ожидаемое значение; суммарное число действительно может быть равно четырем, но может достигать и десяти или более: утверждается просто, что среднее число дополнительных партнеров равно восьми. А если мы знаем, что у кого-то было не меньше десяти партнеров, то у этого человека (в среднем) их было приблизительно на двадцать больше. Интересно, что, если мы исключим из рассмотрения проституток и страдающих (или наслаждающихся) нимфоманией или сатириазом, коэффициент пропорциональности в сети партнеров, вступающих в сексуальную связь, падает приблизительно до 1.

Такие коэффициенты пропорциональности характерны для безмасштабных сетей и могут быть равны любому положительному числу. Назовем коэффициент пропорциональности для некоторой безмасштабной сети фактором Мандельброта этой сети. Таким образом, у любой безмасштабной сети есть фактор Мандельброта, и это число определяет основные характеристики этой сети. Математики обычно используют для описания сетей не коэффициенты пропорциональности, а степенные показатели, потому что с ними легче производить вычисления [98] Чаще всего используется показатель Парето; см. Adamic and Huberman (2002); Simonovits (2015); Newman (2005); Diamond and Saez (2011). . Но мы оставим свой коэффициент пропорциональности, чтобы не забираться в высшую математику.