Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

2. Система должна быть чрезвычайно чувствительна к малым изменениям начального состояния. В случае фракталов начальное состояние выражается уравнениями, определяющими фрактал. И действительно, малейшие изменения параметров этих уравнений изменяют вид фрактала самым радикальным образом.

3. В какой-то момент своего развития хаотическая система должна оказываться сколь угодно близко ко всем состояниям, которых она теоретически может достичь. В той области плоскости или трехмерного (или многомерного) пространства, в которой фрактал определен, он плотен в том же смысле, в котором плотно облако: он не заполняет все точки, как твердое тело, но приближается ко всем точкам своей области определения. Любые точки этой области, не принадлежащие фракталу, сколь угодно близки к точкам, которые ему принадлежат.

Свойственна фракталам и непредсказуемость хаоса. Если взять случайную точку на плоскости и спросить, принадлежит ли она данному фракталу, не существует универсального способа найти ответ на этот вопрос. В это, может быть, трудно поверить, так как фрактал определяется несколькими уравнениями и теоретически мы должны быть способны определить, принадлежит ли та или иная точка множеству их решений. Но Гёдель говорит: если окажется, что нам это не под силу, ничего удивительного в этом не будет. В случае двойного маятника мы можем проследить его траекторию исходя из начального состояния, и если эта траектория пройдет через нашу случайно выбранную точку, то мы сможем заключить, что точка действительно лежит на траектории. Но если маятник не пройдет через эту точку, мы никак не можем предсказать, пройдет ли он через нее когда-нибудь в дальнейшем.

То же справедливо и в отношении фракталов: единственный способ определить, принадлежит ли та или иная точка данному фракталу — это продолжать решение соответствующих уравнений на компьютере. Если компьютер нарисует именно ту точку, которую мы выбрали, то можно быть уверенным, что она принадлежит фракталу. Но до того, как это случится, мы не будем иметь никакого понятия, случится ли это когда-нибудь. Следовательно, если точка все же не принадлежит фракталу, мы никогда об этом не узнаем, как бы долго ни работал наш компьютер.

Хотя все фракталы хаотичны, не всякое хаотическое явление имеет фрактальную структуру. Например, траектория двойного маятника хаотична, но фракталом не является. Однако верно, что фракталы — это наиболее часто встречающиеся проявления хаоса в природе. Иными словами, хаос обычно проявляется в природе в масштабно-инвариантном виде. Разумеется, в этом не было бы ничего удивительного, если бы оказалось, что Мандельброт на самом деле выявил некий доселе неизвестный принцип, справедливый в очень широком диапазоне условий. Масштабная инвариантность может быть тем способом, который дает природе возможность экономичного построения объектов с чрезвычайно богатой структурой. Также может быть, что масштабная инвариантность — это реальное проявление свойственной природе нетерпимости к пустоте. За исключением тривиального случая отрезка прямой, масштабная инвариантность автоматически порождает хаос, а хаос, как мы видели в предыдущей главе, не терпит пустоты — в том смысле, что он плотно заполняет всю свою область определения. На нашем нынешнем уровне знаний все это — лишь умозрительные догадки, но мы точно знаем одно: масштабная инвариантность и сопутствующий ей хаос встречаются в природе повсеместно.

Хотя самоподобие интересовало Мандельброта в первую очередь как геометрическое явление, масштабная инвариантность оказалась концепцией гораздо более общего толка. Одним из наиболее плодотворных ее приложений стало открытие безмасштабных сетей, которые прославил во всем мире американский физик венгерского происхождения Альберт Ласло Барабаши в своем бестселлере «Связанное» (Linked).

С точки зрения математиков и физиков, сеть есть структура, состоящая из набора узлов ( вершин ), некоторые — но не обязательно все — из которых соединены между собою ребрами . Сети могут служить представлением самых разных взаимоотношений. Например, чтобы проиллюстрировать личные отношения в некой группе людей, можно изобразить каждого человека в виде вершины, а наличие ребра, соединяющего две вершины, будет показывать, что эти люди знакомы друг с другом. Нейроны мозга также образуют сеть; некоторые из них соединены друг с другом, другие — нет. Еще одну сеть — так называемый веб-граф — образуют интернет-страницы. Две страницы соединены ребром, если одна из них содержит ссылку на другую. Также можно построить сеть научно-исследовательских публикаций, в которой связи между узлами будут изображать цитирование одной работы в другой. Авиационные маршруты тоже образуют сеть; ее узлы — города, и между двумя городами существует ребро, если эти города соединены беспересадочными рейсами. Важное открытие, сделанное Барабаши и группой его коллег, состояло в том, что сети, встречающиеся в природе, как и социальные сети, по большей части масштабно-инвариантны, так же как по большей части масштабно-инвариантны природные хаотические системы.

Некоторые сети обладают определенной асимметрией. Например, если в сети научных статей в статье В цитируется статья А, то, по всей вероятности, в статье А не цитируется статья В (поскольку статью В, в общем случае, должны были опубликовать после статьи А). Следовательно, ребро, соединяющее узлы А и В, имеет направление. Такие сети называют ориентированными, а их ребра и узлы могут быть входящими или исходящими. Аналогичным образом в сети авиационных маршрутов может существовать прямой рейс из Алтуны в Поттсвиль, а вот прямого рейса из Поттсвиля в Алтуну может и не быть: тогда в сети есть ребро, идущее из вершины Алтуны к вершине Поттсвиля, но нет ребра, идущего в противоположном направлении.

Масштабная инвариантность сетей похожа на масштабную инвариантность геометрических фигур: любая часть сети выглядит более или менее похожей на другую, подсети выглядят как целая сеть, а подподсети — как те подсети, в которых они находятся, так что сказать, в каком масштабе мы рассматриваем сеть, невозможно. При рассмотрении сетей в другом масштабе, в котором узлами становятся не отдельные люди, а города и страны, ее внешний вид изменяется незначительно.

Безмасштабные сети обладают интересными свойствами, которые не обнаруживаются в большинстве других сетей. Например, безмасштабные сети отличаются весьма высокой плотностью в следующем смысле: до каждой пары узлов можно добраться по сравнительно короткому маршруту. Скажем, по имеющимся оценкам считается, что любых двух человек на Земле можно соединить цепочкой из шести или менее знакомых. Интернет также образует очень большую сеть, а именно сеть ориентированную; на каждых двух человек на Земле в нем приходится приблизительно по одной странице. Также и в этом случае почти до любой страницы можно добраться с любой другой страницы не более чем за двадцать переходов по ссылкам. Разумеется, могут существовать как маленькие группы людей, не имеющих знакомых вне своей группы, так и страницы, на которые не ведут никакие входящие ссылки. Хотя до таких «островков» действительно невозможно добраться извне, сказанное выше относительно связности справедливо для подавляющего большинства страниц в интернете.