Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Другая особенность безмасштабных сетей состоит в том, что по сравнению с сетями «нормальными» они содержат относительно большое число узлов, количество входящих и исходящих соединений в них намного превышает среднее, а большинство их узлов имеют сравнительно мало соединений. Именно через такие «концентраторы», наделенные множеством связей, в безмасштабной сети передается бо́льшая часть информации. Если мы хотим распространить какую-либо информацию по безмасштабной сети, прежде всего следует найти один из «концентраторов». В социальных науках их обычно называют «лидерами мнений», или «неформальными лидерами». У некоторых приматов эту роль часто играют старые самки, в обязанности которых входит так называемый «груминг» (вычесывание паразитов) всей группы; переходя от одного члена группы к другому, они распространяют информацию. В человеческих обществах похожую функцию может выполнять почтальон или парикмахер [88] См., например, Barabási (2002), Csermely (2009) и Palla et al. (2007). .

Особенно интересный случай безмасштабной сети представляет собой одна из возможных моделей того, как мы ищем потерянные предметы. Как правило, мы тщательно обыскиваем какой-нибудь определенный участок, перемещаясь при этом очень мелкими шажками. Но через некоторое время мы внезапно уходим из этой точки и начинаем искать совершенно в другом месте, вокруг которого также начинаем передвигаться мелкими шагами. Если нарисовать сеть, узлами которой будут точки, около которых мы ищем, а ребрами — наши переходы между этими точками, мы получим безмасштабную сеть, которую называют «полетом Леви» по имени ее первооткрывателя, французского математика Поля Леви [89] О Леви см. Mandelbrot and Hudson (2004), р. 169–172. .

Предположим, что мы ищем очки или сотовый телефон (хотя на сотовый по меньшей мере можно позвонить, если под рукой есть другой телефон. Сколько раз я жалел, что у моих очков нет телефонного номера!). Если позвонить невозможно, мы ищем телефон тем самым образом, который описал Леви. Безмасштабные полеты Леви применяют также пчелы и альбатросы, олени и ласточки, когда занимаются поисками пищи и, возможно, материалов для строительства гнезда.

Поль Леви описал этот поисковый алгоритм еще в 1930-х годах и доказал, что при некоторых условиях он соответствует оптимальному методу поиска. Дело в том, что эта стратегия минимизирует вероятность повторного осмотра уже пройденных участков и в то же время максимизирует число осматриваемых участков. Таким образом Леви доказал, что масштабная инвариантность может обладать теоретическими и даже практическими преимуществами. Он, правда, не называл это свойство масштабной инвариантностью или самоподобием, потому что в то время эти концепции еще не были открыты. Он просто выявил существование чрезвычайно особого параметра, который к тому же играет фундаментальную роль в науке Диконии.

Мыслительный процесс Леви весьма впечатлил Джона фон Неймана. Мандельброт пишет: «Джон фон Нейман, бывший позднее моим учителем, говорил мне: „Думаю, что теперь я понимаю, как работают все другие математики, но Леви похож на гостя с чужой планеты. Кажется, у него свои, глубоко личные способы постигать истину, и мне от этого становится неуютно“». Что же касается Леви, Мандельброт добавляет: «Впоследствии, когда я рассказал Леви, как развил его идеи и применил их к экономике, он был ошеломлен и, кажется, раздосадован. Он считал, что „настоящие“ математики просто не должны заниматься столь прозаическими вещами, как изучение доходов или цен на хлопок» [90] Ibid., р. 160–162. .

Леви проложил путь в царство безмасштабных сетей, решив чисто математическую задачу, но прошло еще целых полвека, прежде чем эта концепция попала в мир естественно-научных исследований. Одна из интересных особенностей безмасштабных сетей состоит в том, что нам довольно хорошо понятен механизм их самопроизвольного возникновения. Альберт Ласло Барабаши и Река Альберт разработали для иллюстрации этого принципа чрезвычайно простую и изящную математическую модель и проверили ее на самых разных сетях реального мира, в том числе на сети голливудских актеров, связанных совместной работой в одних и тех же фильмах, на некоторых частях Всемирной паутины и на сети электроснабжения Соединенных Штатов. В каждом из этих случаев сети следовали предсказаниям их модели с весьма высокой точностью [91] Barabási and Albert (1999). .

Представим себе сеть, которая увеличивается шаг за шагом, причем вновь прибывшие предпочтительно соединяются с членами сети, присоединившимися к ней раньше всех; чем раньше человек примкнул к сети, тем больше вероятность, что следующий новичок окажется связан именно с ним. Это означает, что те, кто вошел в сеть раньше, обладают непрестанно растущим преимуществом в отношении числа связей по сравнению с теми, кто присоединился к сети позднее. Барабаши и Альберт доказали, что при некоторых условиях этого простого принципа бывает достаточно для образования безмасштабной сети. Тот же результат получается, когда некоторые элементы сети по какой бы то ни было причине оказываются предпочтительнее других. (К слову, ситуация становится более интересной и более сложной, если учитывать возможность существования сильных и слабых связей, — но здесь я не стану углубляться в этот вопрос.) Этот эффект, благодаря которому предпочтительное присоединение приводит к формированию безмасштабной сети, называется эффектом Матфея по библейскому стиху, гласящему: «…ибо всякому имеющему дастся и приумножится, а у неимеющего отнимется и то, что имеет…» (Мф. 25: 29) [92] Эффект Матфея также мог бы называться эффектом Марка, потому что в Мк. 4: 25 говорится то же самое: «Ибо кто имеет, тому дано будет, а кто не имеет, у того отнимется и то, что имеет». . В переводе на более понятный язык это значит, что богатые становятся еще богаче, а бедные — еще беднее.

Помимо эффекта Матфея были обнаружены три других явления, которые могут вносить свой вклад в возникновение безмасштабных сетей [93] См. Taleb (2010), гл. 14–17. . Первое из них — усложнение, которое обычно способствует появлению в сети модульной структуры, что, в свою очередь, может привести к масштабной инвариантности. Второе — процесс накопления, например знаний или капиталов. Третье — интенсивная конкуренция, пример которой можно найти в биологической эволюции, которой случалось приводить к появлению некоторых организмов с причудливыми свойствами. Хотя строгого доказательства, описывающего то, как именно любые из этих составляющих могут привести к возникновению масштабной инвариантности, пока нет, существуют некоторые логические рассуждения в пользу такого влияния, а также интуитивные представления о том, что усложнение, накопление и жесткая конкуренция вносят свой вклад в создание безмасштабных сетей как в природе, так и в человеческом обществе.