Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Если мы ищем не строгого математического самоподобия, а просто хотим найти объекты, выглядящие одинаково в разных масштабах, то природа предлагает нам несколько примеров. Например, у папоротника крупные листья, каждый из которых содержит множество более мелких листьев, кажущихся идентичными, а каждый из них содержит множество еще меньших листьев, кажущихся идентичными, и так далее (илл. 15). В какой-то момент это самоподобие нарушается: отдельные клетки папоротника выглядят как обычные растительные клетки, а не как листья папоротника.

Илл. 15. Самоподобный папоротник

Илл. 16.Мозаика VII века из базилики Санта-Мария-ин-Козмедин в Риме

(Фото Франческо де Комите; воспроизводится по лицензии https://creativecommons.org/licenses/by/2.0/legalcode)

Илл. 17.Четвертая итерация треугольника Серпинского

(Чертеж Йожефа Бенце)

Можно найти такие примеры и в искусстве. На илл. 16 показана мозаика из базилики Санта-Мария-ин-Козмедин, римской церкви VII века. Исходя из той же идеи треугольников, заключенных внутри треугольников, польский математик Вацлав Серпинский открыл истинно самоподобный математический объект, который можно получить за бесконечное число итераций, последовательно вырезая из треугольников треугольные фрагменты. На илл. 17 показана четвертая итерация этого процесса.

Другие истинно самоподобные математические построения были открыты еще в конце XIX века, но до Мандельброта их в основном считали всего лишь занятными диковинами. Мандельброт назвал такие объекты «фракталами», и мы вскоре поймем, что он имел в виду.

В конце 1970-х годов Мандельброт работал в Исследовательском центре имени Томаса Джона Уотсона, входившем в состав компании IBM, и, следовательно, имел доступ к высокопроизводительным (по тем временам) средствам компьютерной графики. В 1980 году он написал программу для отображения объекта, представленного на илл. 18, который стал известен под названием множества Мандельброта. Это множество, а точнее его граница, определяется при помощи сравнительно простой формулы, и кривые, образующие эту границу, оказываются масштабно-инвариантными. В каком бы месте мы ни увеличили изображение, оно выглядит так же, как исходная фигура. Определить, с каким увеличением мы рассматриваем это множество, невозможно. В интернете можно найти очень эффектные анимации глубокого «погружения» в множество Мандельброта, в которых исходная форма снова и снова возникает по мере укрупнения масштаба, подтверждая самоподобие этого объекта [84] Зрелищную полноцветную анимацию, использованную для создания илл. 18, можно найти по адресу: https://www.youtube.com/watch?v=zLqMXDCMEVg .

Илл. 18.Множество Мандельброта (левое верхнее изображение) и последовательное (по часовой стрелке) увеличение центра фигуры. Каждое следующее увеличение производится с изменением масштаба в несколько миллиардов раз

Нечего и говорить, что границы множества Мандельброта — это не обычная кривая, подобная дуге окружности или даже какой-нибудь фантастически изогнутой линии. На самом деле это вообще не одномерная кривая. Однако она и не двумерна, потому что не покрывает никакого целого сегмента двумерной плоскости. Она простирается подобно клочковатому облаку. Если такой кривой потребуется присвоить размерность, та должна быть неким числом, находящимся между единицей и двойкой. Такая «дробная» (от англ . fraction — «дробь») размерность и побудила Мандельброта назвать множества этого типа фракталами [85] Классический труд по фракталам — Mandelbrot (1983). Об истории фракталов см. Mandelbrot (2002). Среди научных трудов можно назвать Falconer (2003), Schroeder (2009) и Sprott (1993). Красивые фракталы можно найти в Lesmoir-Gordon and Edney (2005), Peitgen and Richter (1984). .

В интернете можно найти множество изображений этих замечательных объектов, а также программ для их создания, и я горячо рекомендую читателю их исследовать. Хотя генераторам фракталов требуется всего несколько параметров, они создают необычайное богатство форм. Одно из представлений фрактала мы видели на илл. 8, а еще два показаны на илл. 19. Они созданы самым простым из возможных способов, с использованием только лишь фрактального генератора неспециализированного графического редактора Photoshop. При помощи генераторов фракталов можно обогащать изображения, делая их еще более зрелищными и выявляя скрытые в них регулярности и симметрии.

Илл. 19.Фракталы, сгенерированные в программе Photoshop

(Автор изображения — Вера Мерё)

Мандельброт обнаружил, что графики поведения финансовых рынков имеют многие из свойств фрактальных кривых. Это обстоятельство позволило ответить на вопрос о возможности определения масштаба графиков финансового рынка. Если они фрактальны и, следовательно, самоподобны во всех масштабах, это означает, что специалисты по финансам не упускали из виду какой-нибудь тонкости, которая позволила бы им определять масштаб таких графиков. Если графики действительно самоподобны, для этого попросту не существует даже теоретической возможности. По-видимому, финансовые рынки масштабно-инвариантны по самой своей природе.

Параметры фрактала определяют ход его развития при генерировании — так же как начальное состояние двойного маятника определяет его траекторию. В случае маятника мы видели, что малые изменения параметров порождают гигантские различия в траектории. Происходит ли то же самое с фракталами? Насколько чувствительно их развитие к начальным условиям? Как мы увидим дальше, ответ на этот вопрос — «чрезвычайно чувствительно».

Хотя исходно Мандельброт разработал концепцию фракталов для моделирования поведения финансовых рынков, вскоре он начал подозревать, что фракталы могут быть в природе не исключением, а правилом. Например, береговые линии образуют зигзаги произвольной формы, весьма напоминающие кривую средних значений индекса Доу — Джонса за прошлую неделю; иногда от них отходят острова, похожие на клочковатые облака. На расстоянии их изрезанные контуры кажутся четко определенными, но чем больше мы к ним приближаемся, тем виднее становятся все более многочисленные замысловатые извивы, и в конце концов исчезает почти всякая возможность сказать, находится ли та или иная конкретная точка — камешек или песчинка — в море или на берегу. На самом деле береговые линии так же фрактальны, как границы множества Мандельброта.