Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Начиная с глубокой древности математики спорили также о природе тех объектов, которые изучает математика, — например, чисел и геометрических фигур. Еще в V веке до нашей эры пифагорейцы открыли иррациональные числа, и древнегреческие геометры спрашивали, можно ли разделить произвольный угол на три равные части при помощи только неразмеченной линейки и циркуля. Эта задача оставалась нерешенной до XIX века, пока не были разработаны более современные математические теоремы, при помощи которых была доказана невозможность такого построения [82] Невозможность трисекции угла доказал в 1837 г. французский математик Пьер Лоран Ванцель (1814–1848). .

Хотя решение задачи о трисекции угла заняло целых два тысячелетия, математики продолжали твердо верить, что любую математическую задачу, которую можно поставить, рано или поздно удастся и решить, а любая вычислительная задача, которую можно рассчитать в теории, в конечном счете должна оказаться рассчитанной и на практике. Возможно, именно поэтому результаты, полученные Пуанкаре в области теории хаоса, остались в свое время настолько мало замеченными. Но теорема Гёделя уничтожила идею о том, что математика может решить любую задачу, которую математики могут сформулировать. Когда стало ясно, что математика не способна произвести любой расчет и доказать или опровергнуть любое утверждение, которое может быть в ней сформулировано, математики заинтересовались исследованием пограничных областей своей дисциплины. Что именно невозможно вычислить или предсказать? Может ли математика сказать что-либо интересное о таких объектах, за исключением того, что они неисчислимы и непредсказуемы?

До сих пор мы по большей части видели в этой главе негативные аспекты хаоса — те объекты, которые он объявляет неисчисляемыми и непредсказуемыми. Однако, хотя мы не можем предсказать будущего состояния хаотической системы, иногда появляется возможность вычисления вероятности того, что она придет в одно, а не другое состояние. Такое вычисление дает своего рода теоретическое решение, но оказывается, что сама природа хаотических систем делает невозможным сколько-нибудь точное предсказание наступления экстремальных событий.

Тут важно помнить, что теория хаоса занимается не беспорядком, случайностью или путаницей, а точно определенным типом кажущегося беспорядка. Именно так работают точные науки: при любой возможности они стремятся сосредоточиться на простых вопросах — таких, на которые можно ответить, поставив эксперимент, — оставляя по-настоящему масштабные и трудные задачи на долю тех, кто приобретает знания другими способами. Точные науки избегают вопросов вроде «В чем смысл жизни?», «Почему существует материя?» или «Что есть абсолютная гармония мира?», а вместо них задают вопросы более прозаические: «С какой скоростью скатывается по наклонной плоскости шарик?», «По какому маршруту циркулирует в организме кровь?», «Как размножаются животные?» или «Почему мякоть яблока, если ее расковырять пальцем, становится коричневой, а мякоть апельсина — нет?» К слову, именно последний вопрос, вроде бы взятый с потолка, привел венгерского ученого Альберта Сент-Дьёрдьи к открытию витамина С.

То, как сформулирована теория хаоса, делает ее достаточно простой для применения в естественно-научных изысканиях, а масштаб спектра явлений, которые она описывает, обеспечивает возможность широкого применения результатов таких изысканий. Отвечая на такие узкие, банальные с виду вопросы, ученые умудряются приходить к чрезвычайно общим выводам. Например, закон сохранения материи и энергии вполне мог появиться в писаниях мистиков или философов или найти выражение в произведениях искусства. Эти методы познания мира действительно привели к осознанию законов сохранения, хотя и не с такой щепетильной точностью, с какой их сформулировала наука. Отличительная особенность точных наук состоит в том, что мы знаем не только то, что знаем, но и то, как именно мы пришли к этому знанию.

Теория хаоса привела к открытию масштабной инвариантности — принципа не менее общего и изящного, чем закон сохранения материи и энергии.

На илл. 14 показан обменный курс фунта стерлингов к доллару за разные временные интервалы в течение 2012/13 бюджетного года. При первом же взгляде на графики бросается в глаза, что я не отметил на оси абсцисс даты и время, а на оси ординат не указал масштаб. Можно ли сказать, на каком графике показана история курса за пять минут, а на каком — за час, за сутки и за неделю? Чтобы не лишать вас удовольствия, я не стану приводить здесь ответы на эти вопросы; их можно найти в конце книги [83] В верхнем ряду находятся графики за неделю и за час, в нижнем — за сутки и за пять минут. Графики построены по данным, предоставленным финансовой компанией Plus500. . Не огорчайтесь, любезный читатель, если вам не удается понять, какому временному отрезку соответствует какой график. Этого не могут сказать даже самые прославленные гуру фондового рынка.

Тот факт, что графики состояния финансового рынка выглядят одинаково на всех временных масштабах, привлек внимание Бенуа Мандельброта, с которым мы уже встречались в главе 6. Он захотел узнать, в чем тут дело — есть ли что-то, чего не замечают эксперты, или же различить эти графики действительно невозможно.

Илл. 14.Обменный курс фунта стерлингов к доллару. Которая из кривых построена на пятиминутном масштабе? А на часовом? На суточном? На недельном?

(Графики Йожефа Бенце)

Если бы на четырех графиках, приведенных на илл. 14, было показано соотношение между британским фунтом и британским же пенсом — или американским долларом и американским центом, — тогда именно по той причине, что эти соотношения никогда не изменяются, графики выглядели бы как горизонтальные прямые линии, и невозможность определения временной шкалы никого бы не удивила. Но обменные курсы, изображенные на графиках, подвержены сильным колебаниям, и разумно было бы ожидать, что у этих колебаний имеется своего рода временной ритм, такой, что изменения в течение минуты и изменения в течение недели сильно отличаются друг от друга. Но на деле они оказываются пугающе похожими.

Для разработки модели такого графика Мандельброт хотел найти математический объект, масштабно-инвариантный не только на практике — так сказать, на вид, — но и в теории. Один такой объект, очевидно, существует — это прямая линия. Но есть ли другие, нетривиальные (как сказал бы математик) примеры таких объектов? Если их не существует, то значит, в кривых поведения фондового рынка таится нечто еще не открытое, что когда-нибудь позволит нам определять временной масштаб рыночного графика. Такое знание привело бы нас к ценным новым открытиям в природе финансовых рынков.