Ласло Мерё - Логика чудес. Осмысление событий редких, очень редких и редких до невозможности

Первые мысли Мандельброта о фракталах были изложены в его статье 1967 года под названием «Какова длина побережья Великобритании? Статистическое самоподобие и фрактальная размерность» (How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension) [86] Science. New Series. Vol. 156. № 3775. 1967. May 5. P. 636–638. . В ней он описывает так называемый «парадокс береговой линии» — тот факт, что результат измерения длины береговой линии становится тем больше, чем более короткая линейка используется для измерений, потому что такая линейка позволяет измерить большее количество изгибов и зигзагов. Разумеется, к сходному выводу можно прийти, даже измеряя длину простой дуги окружности, но там увеличение измеренной длины с уменьшением длины линейки имеет фиксированный предел, который мы и называем длиной дуги. То же справедливо и в отношении других обычных кривых, но не фрактальных линий, длина которых расходится до бесконечности. В той мере, в какой береговая линия подобна фракталу, она содержит, по существу, бесконечное количество отрезков, доступных измерению, — и больших, и малых. Мандельброт показал, что ни точно определить береговую линию Великобритании, ни точно измерить ее длину невозможно. У нее нет длины — так же, как у распределения Коши, что показала нам наша подруга Фиби, нет стандартного отклонения. Таким образом, фракталы, как и распределение Коши, приводят нас в Диконию.

Это явление настолько вдохновило Мандельброта, что он начал коллекционировать примеры фрактальных явлений в природе. При этом он обнаружил: стоит понять, что именно ты ищешь, и ты встречаешь это практически повсюду. Как мы уже видели, листья папоротника похожи на фракталы; то же можно сказать о разветвленных системах кротовых туннелей. Подобны фракталам и горные вершины, и снежинки, и облака, и границы норвежских фьордов. Даже человеческий мозг можно считать сложным фракталом. По итогам всех этих наблюдений в 1983 году Мандельброт опубликовал книгу под названием «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature).

Фракталы заинтересовали и психологов. Они провели исследования, чтобы выяснить, какого рода изображения (пейзажи и абстрактные картины) кажутся нам красивыми, и один из неизменных результатов этих исследований сводился к тому, что нас привлекают изображения, подобные фракталам [87] Pratt and Lambrou (2013); Freeman (1991); Hagerhall et al. (2004); Taylor et al. (2011). . Возможно, это связано вот с чем: мы настолько окружены фракталами, что эти изображения кажутся нам более знакомыми, чем фигуры более традиционной геометрии. Удивительно, что психологам понадобилось столько времени на открытие этого факта — ведь фракталы буквально на каждом шагу!

Изображения фрактального типа — подобные упомянутому выше «треугольнику Серпинского» — мозаике VII века — существуют в искусстве издавна. Можно еще упомянуть «пламенеющие» арки и ажурные переплетения готической архитектуры, в которых, как и во многих произведениях современной живописи, в некоторой мере проявляется самоподобие. Однако за годы, прошедшие с тех пор, как программы для генерирования фракталов стали широко доступны, появился целый новый жанр изобразительного искусства, в котором фракталы используются осознанно. На илл. 20 изображена «оболочка Мандельброта» ( Mandelbulb ), созданная Дэниелом Уайтом и Полом Ниландером на основе трехмерного варианта множества Мандельброта.

Илл. 20.Оболочка Мандельброта

(Авторы изображения — Дэниел Уайт и Пол Ниландер)

Фракталы активно используются современными художниками, работающими в области компьютерной графики. Каждый холм и каждое облако в вашей любимой видеоигре построены алгоритмом генерирования фракталов, создающим реалистичные изображения. Самоподобие встречается даже в литературе: последний, связывающий, сонет ( магистрал ) в классическом венке состоит из первых стихов предыдущих четырнадцати сонетов. В музыке существует фуга, в которой самоподобие выражается в повторяющемся возникновении одной и той же темы. В ней же есть и масштабная инвариантность, проявляющаяся в увеличении и уменьшении, когда тема воспроизводится с большей (увеличенной) или с меньшей (уменьшенной) длительностью нот, в сжатии ( стретто ), когда голос, имитирующий тему, вступает еще до того, как завершился предыдущий, и в инверсии, когда тема повторяется в зеркальном отражении.

Самоподобие может приносить огромную пользу инженерам, потому что одна и та же конструкция может быть использована для изготовления механизма, выполняющего некую функцию на всех возможных масштабах. Однако тут сразу же возникают трудности, например, в связи с тем, что при увеличении размеров абсолютно одинаковых трехмерных объектов отношение их объема к площади поверхности не остается неизменным. Это может вызвать нарушения структурной или термодинамической устойчивости. С другой стороны, природа ничего не конструирует . Она просто лепит наугад, и выживает то, что выживает.

Если бы мы открыли закон, из которого следовало бы, что все на свете стремится к достижению максимальной масштабной инвариантности, это было бы большим шагом к пониманию того, как в природном мире возникают структуры невероятной сложности. Из этого вытекало бы, что вещи становятся масштабно-инвариантными не из-за некоего конкретного конструктивного принципа, определенного именно их собственной историей, но в соответствии со всеобщим законом. Если бы такой, ранее не известный, всеобщий руководящий принцип был найден, честь его открытия можно было бы приписать Мандельброту. Но если такой принцип и существует, мы знаем очень мало о механизме его работы и еще менее способны определить область его применимости.

Хаос и масштабная инвариантность неразлучны. Единственное очевидное и тривиальное исключение из этого правила составляет отрезок прямой. Все остальные масштабно-инвариантные объекты обладают всеми тремя характеристиками хаоса, сформулированными в предыдущей главе:

1. Система должна быть определена малым числом переменных. Например, множество Мандельброта определяется очень простым уравнением с одной-единственной комплексной переменной, и даже оболочка Мандельброта, изображенная на илл. 20, определяется всего тремя переменными. Если мы используем элемент случайности для увеличения богатства формы, это добавляет всего одну дополнительную переменную. Более сложные фракталы определяются бо́льшим числом уравнений, но это число обычно находится в промежутке от пяти до десяти. Однако даже фракталы, созданные с использованием гораздо большего количества переменных, могут проявлять хаотическое поведение, как мы видели на примере человеческого мозга: он создается из тысяч генов и проявляет хаотические черты.