Хорди Деулофеу - Дилемма заключенного и доминантные стратегии. Теория игр

Парадокс Хупера гласит, что из двух треугольников и двух трапеций, образующих квадрат, можно составить прямоугольник большей площади.

Игры и занимательная математика непрерывно развивались в течение XIX и начала XX веков, и спектр задач неуклонно расширялся. Среди авторов XIX века следует упомянуть Джеймса Джозефа Сильвестра (1814—1897), Льюиса Кэрролла (1832—1898), Эдуарда Люка (1842—1891) и Уильяма Роуза Болла (1850—1925). Рассказать обо всех подробно просто невозможно, и далее мы остановимся на книгах Кэрролла и Люка.

Преподобный Чарльз Латуидж Доджсон, известный как Льюис Кэрролл, автор сказок об Алисе, был математиком и профессором Оксфорда. Он обожал занимательную математику и планировал издать серию книг под названием Curiosa Mathematica («Математические курьезы»). Завершить этот труд ему не удалось. Во второй книге этой серии под названием «Полуночные задачи, придуманные в часы бессонницы» он демонстрирует выдающиеся способности, приводя решения как простейших и шутливых («Есть двое часов. Одни стоят, другие опаздывают на одну минуту. Какие часы показывают время точнее?»), так и довольно сложных задач («Даны три произвольные точки на бесконечной плоскости. Какова вероятность того, что они образуют тупоугольный треугольник?»).

Знаменитый автор «Алисы в стране чудес»Льюис Кэрролл также придумал бесчисленное множество математических игр.

Кэрролл был не только гениальным автором математических и логических игр, но и великим знатоком английского языка, что можно увидеть в его книгах об Алисе и в многочисленных придуманных им играх со словами. Одна из них, «Лестница слов», заключается в том, что нужно построить цепочку из слов с одинаковым количеством букв, каждый раз меняя по одной букве в слове. Например, можно превратить козу в волка: КОЗА — ПОЗА — ПОЛА — ПОЛК — ВОЛК.

Наиболее значимая роль в развитии математических игр принадлежит французскому математику Эдуарду Люка, специалисту по теории чисел и в особенности по числам Фибоначчи. Он является автором великолепного сборника Recreations mathematiques («Математические развлечения»). Эта книга содержит 35 разделов, посвященных математическому анализу игр и занимательным задачам. Среди игр, придуманных Люка, выделяются «Ханойские башни». Сам Люка, чтобы создать завесу тайны, на презентации игры в 1883 году приписал ее авторство китайскому профессору Клаусу (Claus) из колледжа Ли-Су-Стьян (Li Sou Stain). Обратите внимание, что имя несуществующего профессора — анаграмма фамилии самого Люка (Lucas), а название колледжа — анаграмма колледжа Сен-Луи (Saint Louis), где Люка преподавал математику.

Одна из последних книг XIX века по занимательной математике — Mathematical Recreations and Essays («Математические эссе и развлечения», 1892) Уолтера Роуза Болла, которая в XX веке стала одной из популярнейших книг по этой теме, выдержав более 12 изданий. Редактором одного из изданий в 1938 году выступил геометр Гарольд Коксетер.

Начальное положение колец в игре «Ханойские башни».

Одна из игр, о которых пишет Эдуард Люка в третьем томе своей книги о занимательной математике, принадлежит к типу игр, в которых нужно окружить своими фишками фишки другого игрока. К таким играм относятся «Охота на зайца» из книги Альфонсо X Мудрого и «Лиса и гуси» — очень популярная в викторианской Англии игра, известная еще с XV века.

В «военных играх» отсутствует элемент случайности. Эта игра рассчитана на двух игроков и была очень популярной среди французских военных в XIX веке. У одного игрока три белых фишки, у другого (ему принадлежит первый ход) — одна черная фишка. Фишки располагаются на доске из 11 клеток (начальное положение фишек показано на рисунке ниже). Задача белых фишек — окружить черную, которая пытается сбежать. Фишки могут перемещаться по пустым клеткам вдоль линий игрового поля, но белые фишки не могут отступать, в то время как черная может двигаться в любом направлении.

Игра кажется простой, и при первом знакомстве может показаться, что черной фишке легко скрыться от белых. Но тщательный анализ, проведенный Эдуардом Люка, показывает, что существует выигрышная стратегия для белых фишек — у них всегда есть в запасе минимум один ход, который мешает черной фишке сбежать. После изучения вариантов развития игры становится ясно, что максимальное число ходов равно 12, и количество существенно различных игр сокращается до 16. Кажется невероятным, что эта небольшая игра требует такой выверенности ходов от играющего белыми фишками. Он всегда будет выигрывать, если ему известна выигрышная стратегия.

Начальное положение фишек в «военных играх»

Рубеж XIX и XX веков ознаменован появлением трудов, принадлежащих наиболее плодовитым авторам в области занимательной математики: англичанину Генри Эрнесту Дьюдени (1857—1930) и американцу Сэму Лойду (1841—1911). Множество задач и головоломок, которые до сих пор приковывают внимание игроков, описаны в книгах именно этих двух великих авторов.

Генри Эрнест Дьюдени, помимо прочего, является автором «Кентерберийских головоломок» (1907) и «Математических головоломок и развлечений» (1917). Последняя содержит одну из лучших и обширнейших коллекций математических игр всех времен.

«Задача галантерейщика» Гэнри Дьюдени, в которой необходимо разрезать равносторонний треугольник на четыре части и составить из них квадрат.

Среди огромной коллекции головоломок Дьюдени выделяются криптарифмы — ребусы с числами, в которых цифры обозначаются буквами так, что одинаковым буквам соответствуют одинаковые цифры, а разным буквам — разные цифры. Один из известных примеров: РЕШИ + ЕСЛИ = СИЛЕН, причем наибольшая цифра в числе СИЛЕН не превышает 5. Нужно заменить буквы цифрами так, чтобы получилось верное равенство. (Ответ к этому криптарифму следующий: 9382 + + 3152 = 12534.)

Сэм Лойд опубликовал большинство своих задач в газетах и журналах. В одну книгу под названием «Энциклопедия головоломок» их собрал его сын Сэм Лойд-младший в 1914 году, уже после смерти отца. Среди головоломок Лойда — знаменитая задача о соединении 9 точек, расположенных в форме квадрата 3 × 3, четырьмя прямыми линиями, не отрывая карандаша от бумаги (либо то же для 16 точек, квадрата 4 × 4 и шести линий), а также множество задач о расположении чисел определенным образом. Например, нужно расположить числа от 1 до 8 в вершинах куба так, чтобы сумма чисел на каждых четырех вершинах одной грани была одинаковой.