Иэн Стюарт - Значимые фигуры. Жизнь и открытия великих математиков

В 1832 г., в возрасте 40 лет, Лобачевский женился на состоятельной девушке много младше себя – Варваре Алексеевне Моисеевой. За этот период он опубликовал две работы по неевклидовой геометрии: статью о «воображаемой геометрии» в 1837 г. и конспективное изложение теории на немецком языке, которое вышло в 1840 г. и произвело большое впечатление на Гаусса. У Лобачевских было 18 детей, из которых выжили семеро. Семья владела роскошным домом и вела активную социальную жизнь. В результате к моменту отставки Николай остался практически без денег, да и брак расстроился. Его здоровье ухудшилось, и в 1846 г. университет избавился от Лобачевского, назвав это событие «отставкой». Вскоре после этого умер его старший сын, а сам он начал терять зрение; постепенно он совсем ослеп и потерял способность ходить. Лобачевский умер в 1856 г. в бедности; он так и не узнал, что кто-нибудь когда-нибудь обратит внимание на открытую им неевклидову геометрию.

В этом большом прорыве в равной степени участвовал еще один математик – Янош Бойяи. Его идеи вышли в печатном виде в 1832 г. как приложение к «Эссе для любознательных юношей с рассказом об элементах математики» его отца Фаркаша Бойяи (свои статьи, издававшиеся на немецком языке, он подписывал «Вольфганг Бойяи»); называлось оно «Приложение, содержащее науку о пространстве, абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы Евклида (что a priori никогда решено быть не может)». Как правило, львиную долю заслуг в превращении неевклидовой геометрии в значительную область математики приписывают Бойяи и Лобачевскому, но предыстория вопроса включает еще четырех ученых, которые либо отказывались публиковать свои идеи, либо публиковали их, но не встречали понимания.

Фердинанд Швейкарт исследовал «астральную геометрию», развивая случай с острыми углами из работы Саккери. Он отослал рукопись Гауссу, но так и не опубликовал ее. Он посоветовал своему племяннику Францу Тауринусу продолжить эту работу, и в 1825 г. Тауринус опубликовал «Теорию параллельных прямых». В его «Первых элементах геометрии» 1826 г. утверждается, что случай тупых углов тоже приводит к разумной неевклидовой «логарифмически-сферической» геометрии. Работа не привлекла никакого внимания, и автор в отчаянии сжег оставшиеся экземпляры. Один из учеников Гаусса Фридрих Вахтер тоже писал про аксиому о параллельных – и тоже не был замечен.

Чтобы дополнительно запутать всю эту историю, Гаусс первым, еще в 1800 г., понял, что проблема аксиомы о параллельных связана не с реальным пространством, а с внутренней логикой Евклидовой геометрии. Линии, начерченные по линейке на листе бумаги, не в состоянии прояснить ответ. Может быть, если бы вы взяли достаточно большой лист бумаги, они встретились бы через миллион километров. А может быть, если вы построите множество точек, равноудаленных от какой-то определенной прямой, то результирующая линия окажется не прямой . Разбираясь с этой возможностью, Гаусс, вполне может быть, надеялся, подобно Саккери, получить в конечном итоге противоречие. Вместо этого он получил растущее число элегантных, убедительных, взаимно непротиворечивых теорем и к 1817 г. был убежден в возможности логически непротиворечивых геометрий, отличных от Евклидовой. Но он ничего не публиковал на эту тему, заметив в одном письме 1829 г., что «может пройти очень долгое время, прежде чем я опубликую свои исследования по этому вопросу: мало того, этого может и не произойти при моей жизни, ибо я опасаюсь “криков невежд”».

Вольфганг Бойяи, будучи старым другом Гаусса, написал великому математику с просьбой прокомментировать (положительно, как он надеялся) эпохальное исследование сына. Ответ Гаусса разрушил его надежды:

Похвалить [работу Яноша] значило бы похвалить самого себя. В самом деле, все содержание его работы, путь, выбранный вашим сыном, результаты, к которым он пришел, совпадают почти полностью с размышлениями, занимавшими отчасти мой разум последние 30 или 35 лет. Поэтому я в нерешительности. Если говорить о моей собственной работе, из которой я до настоящего момента мало что предал бумаге, то моим намерением было не разрешить ее публикацию при моей жизни… Поэтому для меня приятным сюрпризом стало то, что я избавлен от этой проблемы, и я очень рад, что именно сын моего старого друга делает этот шаг, обгоняя меня, столь замечательным образом.

Все очень хорошо, но совершенно несправедливо, ведь Гаусс ничего по этому вопросу не публиковал. Конечно, отозваться с похвалой о радикальных идеях Яноша значило бы навлечь на свою голову «крики невежд». Похвалить в частном порядке, приватно, значило уклониться от ответа – и Бойяи-старший, и Гаусс это прекрасно понимали.

Лобачевский не знал, что по крайней мере два математика – Гаусс и Бойяи – уже занимались этой проблемой. Аксиома о параллельных подразумевает существование единственной прямой, параллельной к заданной и проходящей через заданную точку, и для начала он рассмотрел возможность того, что это утверждение ошибочно. Лобачевский заменил его утверждением о существовании множества таких прямых, чья «параллельность» означала, что прямые «не пересекаются, как бы далеко их ни продолжили». Он подробно проработал следствия из такого допущения. Он не доказал, что его геометрическая система логически непротиворечива, но не сумел и привести рассуждения к какому-нибудь противоречию; более того, убедился, что никакого противоречия здесь возникнуть не может. Мы сегодня называем его систему гиперболической геометрией, и она соответствует случаю острых углов Саккери. Тупые углы приводят к эллиптической геометрии, очень похожей на сферическую. Бойяи исследовал оба случая, тогда как Лобачевский ограничился только гиперболическим вариантом.

Потребовалось немало времени, чтобы математики осознали правомерность неевклидовой геометрии и постигли ее значение. Процесс признания начался с выхода из печати французского перевода работы Лобачевского, сделанного Жюлем Оуэлем в 1866 г., через 10 лет после смерти автора. В глаза пытливому читателю бросалась одна важная вещь: отсутствие доказательства того, что отрицание аксиомы о параллельных никогда не приведет к противоречию. Понимание пришло несколько позже: на самом деле существует три непротиворечивые геометрии, удовлетворяющие всем остальным аксиомам Евклида. Во-первых, это сама Евклидова геометрия; во-вторых, это эллиптическая геометрия, где параллельные прямые попросту не существуют; и в-третьих, это гиперболическая геометрия, где параллельные прямые существуют, но не единственны.

Доказательство непротиворечивости оказалось проще, чем можно было ожидать. Неевклидова геометрия может быть реализована как естественная геометрия поверхности постоянной кривизны: положительной для эллиптической геометрии, отрицательной – для гиперболической. Евклидова геометрия представляет собой переходный случай нулевой кривизны. Здесь «прямая» интерпретируется в «геодезическом» смысле, как кратчайшее расстояние между двумя точками. В такой интерпретации все аксиомы Евклида, кроме аксиомы о параллельных, могут быть доказаны при помощи Евклидовой геометрии. Если бы в эллиптической или гиперболической геометрии имелась хоть одна логическая нестыковка, ее можно было бы непосредственно перевести в соответствующую логическую нестыковку в Евклидовой геометрии поверхностей. Но если Евклидова геометрия непротиворечива, то непротиворечивы и эллиптическая, и гиперболическая геометрии.