Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

Бернулли считал, что можно, и благодаря этой идее добился потрясающего эффекта. Той же позиции придерживался и Лейбниц. Однако математические детали всё еще требовали доработки. К 1712 г. оба ученых сошлись в споре по самой сути такого подхода. Забудем про комплексные числа, – что такое логарифм отрицательного действительного числа? Бернулли считал, что он тоже должен быть действительным, а Лейбниц утверждал, что он будет комплексным. Бернулли представил нечто вроде доказательства своей правоты: с помощью обычного вычислительного формализма уравнение

может быть проинтегрировано, получим

ln (- x ) = ln ( x ).

Однако Лейбница это не убедило, и он по-прежнему утверждал, что интегрирование будет верно только для положительного действительного x .

Этот узконаправленный спор был разрешен в 1749 г. Эйлером, и оказалось, что Лейбниц был прав. Бернулли забыл, что любой интеграл включает произвольную константу. И вместо полученного Бернулли выражения должно быть

ln (- x ) = ln ( x ) + c

для некой константы с . Но что это за константа? Если логарифм отрицательных (и комплексных) чисел должен иметь свойства логарифма действительных чисел, что и является целью всей игры, то верно, что

ln (- x ) = ln (–1 × x ) = ln (–1) + ln x ,

так что c = ln (–1). Затем Эйлер привел последовательность изящных преобразований, получив еще более явную формулу для с . Прежде всего он нашел способ манипулирования различными формулами, содержащими комплексные числа, придя к выводу, что они ведут себя очень похоже на действительные, и получил соотношение между тригонометрической функцией и экспоненциальной:

e i θ= cos θ + i sin θ.

Эта формула была предложена в 1714 г. Роджером Котсом. Установив, что θ = π, Эйлер получил превосходный результат:

e i π= –1,

связавший две основные математические константы: e и π. Вызывает восхищение как само существование этой связи, так и ее простота. Эта формула по праву считается одной из самых красивых формул всех времен.

Взяв логарифм, мы получаем:

ln (–1) = i π,

приоткрывая тайну этой непостижимой константы с из предыдущего текста: она равна i π. В таком случае это мнимое число, т. е. Лейбниц был прав, а Бернулли ошибался.

Но и это еще не всё: ящик Пандоры едва успел открыться. Если принять, что θ = 2π, то

e 2 i π= 1.

Значит, ln (1) = 2 i π. Тогда уравнение x = x × 1 приводит к выводу:

ln x = ln x + 2 i π.

Тогда для любого целого n

ln x = ln x + 2 ni π.

На первый взгляд, бессмыслица: это означает, что 2 ni π = 0 для любого n . Но есть и такой способ проинтерпретировать это выражение, что оно покажется осмысленным. В случае комплексных чисел логарифмическая функция многозначна. И действительно, кроме тех случаев, когда комплексное число z равно 0, функция ln z может принимать бесконечно много разных значений (когда z = 0, ее логарифм не определен).

Действительные и мнимые части комплексной функции должны удовлетворять условиям Коши – Римана, что тесно связано с применением ДУЧП для гравитации, электричества, магнетизма и некоторых видов гидродинамики на плоскости. Это условие позволяет решать многие уравнения в математической физике – но только для двумерных систем.

Магнитное поле вокруг магнитного стержня, «увидеть» которое помогают железные опилки: комплексный анализ может быть использован при расчете таких полей

Математики привыкли пользоваться функциями, которые могут иметь несколько разных значений, и квадратный корень остается самым очевидным примером: здесь даже действительное число имеет два разных корня, положительный и отрицательный. Но бесконечно много значений? Это действительно странно.

Большой переполох в этой области учинило открытие, что вы можете заниматься исчислением – комплексным анализом – с комплексными функциями, а полученная в результате теория элегантна и полезна. Настолько полезна, что само логическое обоснование данной идеи перестало волновать кого бы то ни было. Когда что-то работает и вы понимаете, что без этого не обойтись, вы обычно не особо задаетесь вопросом, почему так получилось.

Два разных пути P и Q от –1 до 1 на комплексной плоскости

Использование комплексного анализа, судя по всему, стало осознанным выбором математического сообщества: это обобщение столь явное и убедительное, что любой математик, наделенный здравым смыслом, захотел бы увидеть, к чему это приведет. В 1811 г. Гаусс пишет письмо своему другу астроному Фридриху Бесселю, излагая свой подход к комплексным числам как к точкам на плоскости. Также он упоминает о некоторых глубинных результатах. Среди них – базовая теорема, заложившая фундамент комплексного анализа в целом. Сегодня она известна нам как интегральная теорема Коши, хотя Гаусс сформулировал ее гораздо раньше в своих неопубликованных работах.

Огюстен Луи Коши родился в Париже в самый разгар политических неурядиц. Друзьями его семьи были Лаплас и Лагранж, так что Коши с детских лет был знаком с миром высшей математики. Он поступил в Политехническую школу и закончил ее в 1807 г. В 1810 г. его пригласили работать инженером в Шербуре. Здесь он участвовал в подготовке планов вторжения Наполеона в Англию, но не оставил надежду заняться математикой и старательно штудировал «Небесную механику» Лапласа и «Теорию аналитических функций» Лагранжа. Несмотря на неудачные попытки получить академическую должность, Коши продолжил исследования в математике. Его знаменитая статья по интегрированию комплексных функций, давшая основу всему комплексному анализу, появилась в 1814 г. и наконец привела его к заветной цели: через год ему досталось место доцента по математическому анализу в Политехнической школе. Талантливый математик Коши опубликовал статью о волнах, принесшую ему в 1816 г. премию Академии наук. Он продолжил исследования в области комплексного анализа, и в 1829 г. в своем труде «Краткое изложение уроков о дифференциальном и интегральном исчислении» дал первое явное определение комплексной функции.