Йэн Стюарт - Укрощение бесконечности. История математики от первых чисел до теории хаоса [litres]

На самом деле этот шар слегка сплюснут: на экваторе его диаметр равен 12 756 км, а между полюсов 12 714 км. Разница относительно невелика – 300-я доля. В те времена, когда для навигаторов не считалась ошибкой промашка в несколько сотен километров, их вполне устраивала Земля как идеальный шар. Но тогда упор делался скорее на сферическую тригонометрию, а не геометрию – на саму суть навигационных расчетов, а не логический анализ сферы как особого вида пространства. Поскольку сфера относилась к трехмерному евклидову пространству, никто и не предполагал, что сферическая геометрия может чем-то отличаться от евклидовой. Все неточности списывали на кривизну Земли. Сама же геометрия пространства оставалась полностью евклидовой.

Значительным шагом за пределы евклидовой геометрии стала проективная геометрия, открытая в начале XVII в. На нее первыми обратили внимание не ученые, а художники: вспомните теоретические и практические исследования перспективы мастеров итальянского Возрождения. Их целью было сделать свои картины более реалистичными, а привело это к новому образу мышления в геометрии. И снова эти исследования могли быть восприняты как инновации в рамках классической евклидовой геометрии. Ведь речь шла не о самом пространстве, а о том, как мы видим его.

Открытие, что Евклид может быть не единственным авторитетом, что могут существовать логически обоснованные типы геометрии, опровергающие многие из его теорем, пришло с возрождением интереса к логическим основаниям геометрии. Споры захватили ученых в середине XVIII в. и продолжались до середины XIX в. Больше всего вопросов вызвал так называемый пятый постулат Евклида, который весьма туманно утверждал существование параллельных линий. Попытки вывести его из остальных аксиом Евклида привели к открытию, что такой вывод невозможен и есть и другие виды геометрии, помимо евклидовой. Эта неевклидова геометрия давно стала незаменимым инструментом для исследований в математике и математической физике.

В истории Европы геометрия пребывала в подобии спячки примерно с 300 по 1600 г. И только вопрос перспективы в живописи вдохнул в нее жизнь, вернув науке практическую ценность: как реалистично изобразить трехмерный мир на двумерном полотне.

Художники Возрождения не занимались исключительно живописью. Многие были востребованы как талантливые инженеры для военных и мирных проектов. Их отношение к искусству всегда имело и практическую сторону, и геометрия перспективы как раз и стала гранью, важной для архитектуры ничуть не меньше, чем для живописи. Также в то время оживился интерес к оптике и математике света, что привело к изобретению телескопа и микроскопа. Первым мэтром, заинтересовавшимся математикой, был Филиппо Брунеллески. По сути, его искусство стало движущей силой для его математики. Стоит также упомянуть о книге Леона Баттисты Альберти «Живопись», созданной в 1435 г. и напечатанной в 1511 г. Альберти начал с принятия некоторых важных, хотя и относительно безвредных упрощений, проявив рефлекс настоящего математика. Человеческое зрение – очень сложная тема. Например, мы используем два слегка расставленных в пространстве глаза, чтобы генерировать стереоскопические образы, получая ощущение глубины. Альберти упростил реальность, предложив работать с одним глазом с точечным зрачком, действующим как камера с малым отверстием. Он представил, как художник готовится писать картину, устанавливая мольберт и стараясь создать картинку на полотне с помощью единственного глаза. И с полотна, и с реального объекта картинка попадает на сетчатку, расположенную в задней части глаза. Самым простым (умозрительным) способом было бы сделать полотно прозрачным, смотреть через него с неподвижной точки и рисовать на полотне точно то, что видит глаз. Так трехмерная картинка проецируется на полотно. Нацельте глаз на каждую ее деталь так, чтобы он смотрел прямо, и отметьте, где эта линия встречается с плоскостью полотна: здесь и следует рисовать эту деталь.

Эта идея вряд ли принесет пользу, если вы в точности станете следовать ей на практике. Но некоторые художники поступали именно так, используя полупрозрачные материалы или стекло вместо полотна. Они часто применяли этот прием на подготовительном этапе, нанося набросок на полотно перед тем, как писать картину. Более практичным подходом было бы использовать эту концептуальную формулировку для связи геометрии трехмерной сцены с двумерной картинкой на полотне. Привычная нам евклидова геометрия работает со свойствами, остающимися неизменными при их перемещении: длиной и углами. Хотя сам Евклид не формулировал свои принципы именно так, его основной инструмент – конгруэнтные треугольники – производит такой же эффект (имеются в виду треугольники одинаковой формы и размеров, но расположенные в разных местах). Точно так же геометрия перспективы сводится к свойствам, которые остаются неизменными при проекции. Легко заметить, что длины и углы не ведут себя так же. Вы можете прикрыть Луну одним пальцем – получается, длина способна меняться? С углами еще хуже: если вы посмотрите на угол здания и он прямой, то он будет казаться прямым, только если вы посмотрите на него прямо.

Проецирование картинки. Гравюра Альбрехта Дюрера

Какие же свойства геометрических фигур сохраняет проекция? Самые важные кажутся нам такими простыми, что трудно поверить в их значение. Точки остаются точками. Прямые – прямыми. Образ точки, расположенной на прямой, останется на изображении этой линии. Получается, если две линии встречаются в какой-то точке, их изображения тоже встречаются в соответствующей точке. Отношения между точками и прямыми сохраняются в проекции.

Важной чертой, не полностью сохраняемой в проекции, является взаимодействие параллельных прямых. Представьте, что вы стоите посреди бесконечно длинной прямой дороги и смотрите вперед. Две ее стороны, параллельные друг другу в трехмерной реальности (никогда не встречающиеся), уже не выглядят параллельными. Они сходятся в одну точку где-то у горизонта. Они всегда ведут себя так, как будто находятся на идеально бесконечной плоскости, а не слегка скругленной Земле. По сути, они и могут вести себя так только на плоскости. На сфере будет едва заметный разрыв, слишком маленький, чтобы его рассмотреть, там, где линии пересекают горизонт. Получается, все рассуждения о параллельных линиях на шаре весьма запутанны.

Такая особенность параллельных линий очень полезна для изображения перспективы. Это основа привычного рисования прямоугольных объектов в перспективе, когда используются линия горизонта и две исчезающие точки там, где параллельные линии коробки пересекают перпендикулярный им край. «О перспективе в живописи» – труд Пьеро делла Франческа, изданный в 1482–1487 гг., – развил метод Альберти в практические приемы для художников. Сам живописец успешно применял свои идеи в создании драматичных и весьма реалистичных полотен.