Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

2 x — 2 y = 10;

2 x + 7 y = 100.

Вычитание одного уравнения из другого дает следующий результат:

9 y = 90, или y = 10.

Теперь подставим значение y в первое уравнение и получим x = 15. Таким образом, у Ала и Стива вместе 15 + 10 = 25 саламандр. Это решение абсолютно правильное, но не самое изящное.

Посмотрим, можно ли упростить решение, использовав подход от обратного. Нас не спрашивают, сколько саламандр у каждого мальчика, мы должны определить сумму их саламандр. Поэтому можно начать с тех же двух уравнений. Иначе говоря, нам нужно найти x + y , а не значение каждой неизвестной. Составим те же два уравнения исходя из условий задачи.

x — y = 5;

2 x + 7 y = 100.

В этот раз, однако, будем искать способ определения суммы двух неизвестных.

Для этого умножим первое уравнение на 5, а второе на 2:

5 x — 5 y = 25;

4 x + 14 y = 200.

Теперь сложим эти два уравнения и получим 9 x + 9 y = 225 и x + y = 25. Такой метод необычен, но он демонстрирует более тонкий подход к решению задач, в которых требуется найти нечто иное, чем ожидают большинство людей.

Имея два следующих уравнения, найдите сумму x + y :

6 x + 7 y = 2007;

7 x + 6 y = 7002.

Традиционный подход заключается в решении двух уравнений с двумя неизвестными.

6 x + 7 y = 2007;

7 x + 6 y = 7002.

Умножим первое уравнение на 7, а второе на 6 и получим:

42 x + 49 y = 14 049;

42 x + 36 y = 42 012.

Вычтем одно уравнение из другого:

13 y = −27 963.

Таким образом, y = −2151.

Подставив это значение y в первое уравнение, мы получаем:

6 x − 15 057 = 2007;

6 x = 17 064;

x = 2844.

Таким образом, искомая сумма равна x + y = 2844 − 2151 = 693.

Подойдем к решению этой задачи от обратного. Два уравнения, приведенные в условиях задачи, обладают определенной симметрией. Попробуем выяснить, не поможет ли эта симметрия найти более изящное решение. Глядя на вопрос задачи, можно заметить, что нам нужно найти не индивидуальные значения x и y , как обычно, а только их сумму. Поэтому давайте посмотрим, позволяет ли упомянутая выше симметрия найти сумму сразу без предварительного определения значений x и y . Если сложить два уравнения, мы получим:

Разделив обе части уравнения на 13, мы получаем x + y = 693, а это и есть искомый ответ.

Среди множества стратегий решения математических задач есть такая, которая позволяет выйти из положения, когда вы «упираетесь в стену». Это подход к задаче с другой точки зрения. Ниже приведен пример такой стратегии, который является классическим в силу простоты и кардинальности изменения метода решения. В этом примере обычный подход дает правильный ответ, однако он громоздок и нередко приводит к арифметическим ошибкам. Рассмотрим следующую задачу.

В школе 25 классов, каждый из которых выставляет баскетбольную команду для участия в общешкольном турнире. По условиям турнира команда, проигравшая в одной встрече, выбывает из соревнования. В школе всего один спортивный зал, и директор хочет знать, сколько встреч придется провести в нем, чтобы определить победителя.

Типичное решение этой задачи заключается в моделировании реального турнира, в котором 12 случайно выбранных команд встречаются с другой группой из 12 команд, а одна команда освобождается от соревнований. Победители затем встречаются друг с другом, как показано ниже.

Любые 12команд играют против других 12команд, в результате чего определяются 12 победителей.

Во втором круге 6 победителейвстречаются с 6 другими победителями, в результате чего определяются 6 победителей.

В третьем круге 3 победителявстречаются с 3 другими победителями, в результате чего определяются 3 победителя.

3 победителя+ 1команд а(освобожденная от соревнований) = 4команд ы.

В четвертом круге 2 оставшиесякоманд ывстречаются с 2 оставшимисякоманд ами, в результате чего определяются 2 победителятурнира.

В пятом круге 1команд аиграет против 1команд ыза звание чемпиона.

Теперь подсчитаем количество проведенных игр.

Суммарное количество проведенных игр равно:

12 + 6 + 3 + 2 + 1 =24.

Такой метод решения кажется вполне разумным и определенно правильным.

Если подойти к этой задаче с другой точки зрения и определять проигравших, а не победителей, то решение будет значительно проще. В этом случае мы задаемся вопросом, сколько должно быть проигравших, чтобы определить одного чемпиона? Понятно, что проигравших должно быть 24. Чтобы появились 24 проигравших, нужно провести 24 игры. Ответ найден. Взгляд на задачу с другой точки зрения — интересный подход, который может оказаться полезным в различных ситуациях.

Для получения еще одной альтернативной точки зрения на задачу представьте, что в составе наших 25 команд одна является профессиональной баскетбольной командой, которая гарантированно побеждает в турнире. Каждая из оставшихся 24 команд при встрече с профессиональной командой неизбежно проигрывает. И опять мы видим, что для определения чемпиона нужно провести 24 игры. Это должно показать вам действенность данного метода решения задач. Посмотрим теперь, какие задачи можно эффективно решать с помощью принятия другой точки зрения.

На контуре круга O выбрана точка P (рис. 4.1). Из этой точки к взаимно перпендикулярным диаметрам проведены перпендикуляры PA и PB . Если AB = 12, то чему равна площадь круга, выраженная через π ?

Большинство пытается решить задачу с помощью теоремы Пифагора, поскольку треугольники PAB и OAB являются прямоугольными. Такой подход, однако, заводит в тупик из-за того, что для применения теоремы Пифагора недостаточно информации.

Эту задачу можно решить несколькими способами. Один из них — рассмотрение экстремумов. Предположим, что точка P на контуре круга совпадает с точкой Q . В этом случае отрезок AB должен совпадать с отрезком QO , который представляет собой радиус круга. Таким образом, площадь круга равна 144 π .