Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Организуем данные таким образом, чтобы можно было учесть все возможности. Поскольку сумма точек на противоположных гранях равна 7, варианты сочетания могут быть лишь такими:

1 и 6;

2 и 5;

3 и 4.

Известно, что у трех соседних граней должна быть общая вершина. Всего вершин у кубика восемь, поэтому наборов из трех соседних граней тоже должно быть восемь. Посмотрим, разные у них суммы точек или нет. Для этого перечислим все возможные сочетания по три, выбирая одно число на описанных выше трех парах противоположных граней, а потом определим их суммы. Чтобы не пропустить ни одной возможности, выбор будем проводить упорядоченно:

Существует восемь разных сумм, как и следовало ожидать при восьми вершинах.

Во время последней переписи населения респондент сказал переписчику, что у него трое детей. Когда его спросили об их возрасте, он ответил, что не может сказать этого, но произведение их возрастов равно 72, а сумма такая же, как номер нашего дома. Переписчик выбежал на улицу, посмотрел номер дома и сказал, что все равно не понимает. Тогда респондент добавил: «Ах да, я забыл сказать, что мой старшенький любит блинчики с черникой». После этого переписчик быстро заполнил графу возраста. Сколько лет детям респондента? (Рассматривайте только целые числа.)

Самый распространенный подход — попытаться составить ряд уравнений. Если обозначить возраст трех детей, как x, y и z , то мы получаем:

Здесь мы заходим в тупик: у нас система из двух уравнений с четырьмя неизвестными. Такую задачу, похоже, невозможно решить. Можно, конечно, попробовать угадать, но на это потребуется уйма времени.

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Поскольку произведение возрастов равно 72, начнем с перечисления всех троек чисел, которые при перемножении дают 72. Не будем забывать также об аккуратной организации данных, чтобы не упустить какую-нибудь возможность.

Это полный список триад чисел, произведение которых равно 72. Где-то в нем прячется ответ. Мы также знаем, что сумма возрастов равна номеру дома:

Переписчик видел номер дома, однако все равно не мог определить возраст детей. Почему? Если, например, номер дома равен, скажем, 18, то возраст становится очевидным — 1, 8 и 9. Однако невозможность определить правильную тройку чисел предположительно связана с тем, что есть две тройки чисел, дающие в сумме 14. Иначе говоря, у дома должен быть номер 14. Вместе с тем, как только респондент произнес слова «мой старшенький любит блинчики с черникой», переписчик понял, что один ребенок должен быть старшим . В этом случае возраст детей равен 3, 3 и 8, поскольку в тройке 2, 6 и 6 нет единственного старшего.

Обратите внимание на то, что блинчики с черникой на деле всего лишь отвлекающие слова. Ключом к решению задачи является слово «старшенький».

Сколько общих для двух окружностей касательных можно провести на рис. 9.1?

Можно попробовать построить общие касательные и сосчитать их, однако нет никакой гарантии, что это будут все касательные, поскольку рисунок довольно обманчив.

Чтобы организованно подойти к решению этой задачи, нужно брать по две окружности за раз и учитывать все возможности.

Окружности A и B: 2 внешних касательных + 1 внутренняя;

Окружности A и C: 2 внешних касательных + 2 внутренних;

Окружности B и C: 2 внешних касательных.

Таким образом, суммарное количество общих касательных равно девяти. Задача легко решается путем учета всех возможностей.

Мария помогает отцу укладывать плитку на пол прямоугольной комнаты для игр. Всего у них ушло ровно 2005 квадратных плиток двух цветов — черного и белого. Периметр в одну плитку шириной был полностью черным. Остальная плитка имела белый цвет. Сколько белых плиток потребовалось, чтобы покрыть пол?

Если сделать рисунок, то мы получим два прямоугольника, как показано на рис. 9.2. Если размеры внутреннего прямоугольника x и y , то ширина внешнего равна x + 2, а длина — y + 2.

Естественная реакция — представить полученную информацию алгебраически в форме уравнения:

( x + 2) ( y + 2) = 2005.

Выполнив умножение и упростив это уравнение, мы получим:

xy + 2 y + 2 x + 4 = 2005;

xy + 2 y + 2 x = 2001.

Мы получили одно уравнение с двумя неизвестными, и нам нужно найти xy . Это тупик, а не решение.

Подойдем к имеющейся информации с другой стороны и рассмотрим все возможности. Количество плиток, 2005, можно разложить на множители только двумя путями: либо 1 × 2005, либо 5 × 401. Это дает два возможных размера искомого прямоугольника. Первую ситуацию можно отбросить, поскольку при ширине в одну плитку для белых плиток места нет. Следовательно, в игровой комнате должно быть 5 × 401 плиток. Поскольку снаружи выполнена «рамка» шириной в одну плитку, размеры внутреннего прямоугольника из белых плиток на две плитки меньше в каждом направлении. Если уменьшить каждое направление на две плитки, то количество белых плиток для внутреннего прямоугольника составит 3 × 399, или 1197. Таким образом, для покрытия пола было использовано 1197 белых плиток.

Даны целые числа от –100 до +100. Сколько таких чисел при возведении в квадрат имеют цифру 1 в разряде единиц?

Естественная реакция — начать с выписывания всех целых чисел от 1 до 100. Затем их по очереди возводят в квадрат и подсчитывают те, у которых в конце стоит 1. Результат после этого удваивают, чтобы учесть числа от –1 до –100.

Воспользуемся стратегией учета всех возможностей. Единственными числами, квадраты которых могут иметь цифру 1 в разряде единиц, являются те, что оканчиваются на 1 или 9. Таким образом, существует всего 20 возможностей, а именно 1, 11, 21, 31, 41, 51, 61, 71, 81, 91, 9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89 и 99. Удвоив это количество, чтобы учесть все возможности в отрицательном диапазоне, мы получаем ответ — 40 целых чисел.