Альфред Позаментье - Стратегии решения математических задач. Различные подходы к типовым задачам

Дробная часть должна быть целым числом, поскольку количество марок не может быть дробным. Выберем какое-нибудь значение для x , при котором дробная часть превращается в целое число. Пусть x = 4. Тогда y = 12 − 4 + (–2), или y = 6.

Дэн, таким образом, должен использовать шесть 8-центовых марок и четыре 13-центовых марки. (Но все ли это возможности? Можно ли найти все возможные ответы?)

Более изящное решение дает использование нашей стратегии обоснованного предположения и проверки в сочетании с табличным представлением результатов.

Таким образом, четыре 13-центовых марок и шесть 8-центовых марок дают сумму $1, необходимую Дэну. Обратите внимание на то, что таблица ясно показывает отсутствие других вариантов.

Разница между двумя положительными целыми числами равна 5. Если сложить их квадратные корни, то сумма также будет равна 5. Что это за целые числа?

Традиционный подход — это составление системы уравнений:

Пусть x = первое целое число;

Пусть y = второе целое число.

Тогда:

Возведем обе стороны в квадрат:

Упростим полученное выражение:

Снова возведем обе стороны в квадрат:

4 x 2+ 20 x = 4 x 2— 80 x + 400;

100 x = 400;

x = 4;

y = 9.

Два целых числа — 4 и 9.

Традиционный подход требует умения решать уравнения с радикалами и связан с большим количеством алгебраических преобразований. В качестве альтернативы воспользуемся нашей стратегией обоснованного предположения и проверки. Поскольку сумма квадратных корней из двух целых чисел равна 5, квадратные корни этих чисел должны представлять собой 4 и 1 или 3 и 2. Таким образом, целые числа должны быть равными 16 и 1 или 9 и 4. Вместе с тем, если взять разность, которая равна 5, становится понятно, что правильный ответ — 9 и 4.

Тренер футбольной команды разрешает игрокам самостоятельно выбрать номер, под которым они выйдут на поле. Макс и Сэм, которые не только играют в футбол, но и входят в состав математической команды, останавливаются на особой паре номеров. Когда их номера возводят в квадрат, они дают двузначные числа. Когда два футболиста стоят рядом, образующееся из этих квадратов четырехзначное число также является квадратом простого числа. Какие номера они выбрали?

Большинство людей берут числа 1, 2, 3, 4, 5, … и возводят их в квадрат, пытаясь найти те, которые дают двузначный квадрат. Затем они помещают эти квадраты рядом друг с другом и смотрят, какие из них образуют квадрат простого числа. Такое гадание нельзя назвать продуктивным.

Призовем на помощь нашу стратегию обоснованного предположения и проверки. Прежде всего, можно ограничить количество чисел, из которых делается выбор. При возведении в квадрат двузначное число дают числа от 4 до 9, поскольку квадраты 1, 2 и 3 — это однозначные числа, а квадраты 10, 11, …, 31 — трехзначные числа. Таким образом, мы можем выбирать из следующих квадратов: 16, 25, 36, 49, 64, 81. Начиная с 16 проверим, пара каких квадратов образует при размещении рядом квадрат простого числа. Обратите внимание, если мы оцениваем 1625 (это не квадрат простого числа), то нам нужно оценить и 2516 (тоже не квадрат простого числа). Чтобы выдвинуть обоснованное предположение, нужно в пару к 16 поставить оставшиеся двузначные числа. Если взять пару 16 и 81, то мы получим число 1681, равное 41 2. Макс и Сэм выбрали в качестве своих номеров числа 4 и 9.

Обратите внимание на то, что числа 3 и 4 тоже работают, так как 3 2= 9, а 4 2= 16. При размещении рядом друг с другом эти квадраты дают число 169, которое является квадратом простого числа. Однако в условиях задачи говорится о четырехзначном числе, так что этот ответ исключается.

Лайза получила на неделю задание решить 26 арифметических задач. Чтобы заинтересовать ее, отец обещал выдавать ей по 8 центов за правильно решенные задачи и вычитать по 5 центов за неправильно решенные. После выполнения задания Лайза обнаружила, что отец не должен ей ничего, но и она ничего не должна. Сколько задач Лайза решила правильно?

Эту задачу позволяет решить обычный алгебраический подход.

Пусть x обозначает количество правильно решенных задач, а y — количество неправильно решенных задач.

Тогда:

8 x — 5 y = 0;

x + y = 26.

Из первого уравнения получаем, что 8 x = 5 y и

Подстановка значения x во второе уравнение дает:

Лайза решила правильно 10 задач и неправильно 16 задач.

Те, кто не умеет решать системы из двух уравнений с двумя неизвестными, могут попробовать найти ответ с помощью стратегии обоснованного предположения и проверки. Результаты лучше представлять в табличной форме. Начнем с середины — 13 правильных решений и 13 неправильных.

Лайза решила правильно 10 задач и неправильно 16 задач.

Табличное представление результатов делает ответ очевидным. Обратите внимание на то, что предположения не выдвигаются наобум. Мы начинаем в середине и движемся вверх или вниз по одному предположению за раз. Поскольку первое предположение значительно выше искомого ответа, мы уменьшаем количество правильных решений на 1 и увеличиваем количество неправильных на 1 за раз, уменьшая сумму на 13 центов.

В США существуют монеты следующего достоинства: 1 цент, 5 центов, 10 центов, 25 центов, 50 центов (есть даже монета $1). Какое наименьшее количество монет необходимо, чтобы составить любую сумму от 1 цента до $1?

Один из подходов — это взять какое-то количество монет каждого достоинства и попытаться найти наименьшее их число, которое позволяет составить любую сумму от 1 цента до $1. Другими словами, реально выполнить необходимые действия. Некоторые пытаются пойти обратным путем и начинают с двух 50-центовых монет. Ни тот ни другой подход нельзя назвать рациональным.