Авинаш Диксит - Стратегические игры

Таким образом, мы определили две эволюционно устойчивые конфигурации популяции. В каждой из них популяция состоит из игроков только одного типа (то есть мономорфна). Например, если изначально популяция включает 100 % игроков типа О, то даже после появления небольшого количества мутантов В-типа она по-прежнему будет состоять из более чем 66,66…% игроков типа О. Другими словами, тип О останется более приспособленным, а мутирующая линия типа В исчезнет. Точно так же, если изначально популяция на 100 % состоит из игроков типа В, то небольшое количество мутантов типа О (менее 66,66…%) покинет ее, а значит, уровень приспособленности игроков типа В будет выше и мутирующая линия типа О исчезнет. Как мы уже видели ранее, экспериментирующие мутанты типа N не добьются успеха в популяции типов В и О, в основном состоящей из игроков либо В-, либо О-типа.

Но что если в исходную популяцию входит ровно 66,66…% игроков типа О (и 33,33…% игроков типа В)? Тогда у обоих типов одинаковый уровень приспособленности, и мы могли бы назвать эту ситуацию полиморфизмом. Тем не менее на самом деле такая популяция неподходящий кандидат на эволюционно устойчивую конфигурацию и может поддерживать этот слабо сбалансированный исход только до появления мутанта любого типа. По воле случая такой мутант рано или поздно появится, что сместит расчеты приспособленности в пользу мутантного типа, и данное преимущество будет накапливаться до тех пор, пока не будет достигнута эволюционно устойчивая стратегия со 100 % игроков этого типа. Это просто пример применения вторичного критерия определения эволюционной устойчивости. Мы иногда будем в широком смысле говорить о такой конфигурации как о неустойчивом равновесии, для того чтобы сохранить параллель с обычной теорией игр, в которой мутации не учитываются и слабо сбалансированное равновесие может существовать. Однако в рамках строгой логики биологического процесса это вообще не равновесие.

Наши рассуждения можно представить в виде простого графика, очень напоминающего те, которые мы строили при вычислении соотношений в равновесии в смешанных стратегиях с участием игроков, осознанно придерживающихся рационального поведения. Единственное различие — в эволюционном контексте соотношение стратегий, используемых игроками, не вопрос выбора, сделанного любым отдельно взятым игроком, а свойство всей популяции, как показано на рис. 12.4. На горизонтальной оси отображена доля в популяции x (от 0 до 1) игроков типа О. Уровень приспособленности показан на вертикальной оси. Каждая линия отображает уровень приспособленности одного типа. Линия, соответствующая типу О, начинается ниже (в точке 792 по сравнению с 864 в случае линии типа В) и заканчивается выше (972 против 936). Линии пересекаются при x = 0,66…. Направо от этой точки уровень приспособленности типа О выше, поэтому процент игроков данного типа в популяции с течением времени возрастает , а значение x приближается к 1. Точно так же слева от этой точки уровень приспособленности типа В выше, поэтому процент игроков В-типа в популяции с течением времени увеличивается, а значение x приближается к 0. Такие диаграммы — полезный способ наглядного представления данных, поэтому мы будем их широко использовать [214].

Рис. 12.4.Графики уровня приспособленности, а также равновесия в дилемме заключенных с тремя повторениями

А что если каждая пара игроков разыграет неоговоренное количество раундов? Давайте сосредоточимся на популяции, состоящей только из игроков типа В и О, в которой взаимодействие между случайно отобранными парами происходит n раз (где n > 2). Таблица общих результатов такой игры представлена на рис. 12.5. Два игрока типа В при встрече всегда отказываются от сотрудничества и всякий раз получают выигрыш 288; иными словами, выигрыш каждого игрока составляет 288 n в n раундах игры. Два игрока типа О при встрече начинают с сотрудничества, причем никто из них не отказывается от него первым, а значит, они каждый раз получают выигрыш 324, что в сумме равно 324 n . Когда игрок типа В встречается с игроком типа О, в первом раунде игры игрок типа О сотрудничает, а игрок типа В отказывается от сотрудничества и в итоге получает выигрыш 360, а игрок типа О — выигрыш 216. Во всех последующих раундах игрок типа О отвечает отказом на предшествующий отказ игрока В; при этом каждый из них получает выигрыш 288 в оставшихся ( n — 1) раундах. Таким образом, тип В в сумме имеет 360 + 288( n — 1) = 288 n + 72 в n раундах игры против типа О, тогда как тип О — 216 + 288( n — 1) = 288 n — 72 в n раундах игры против типа В.

Рис. 12.5.Исходы дилеммы заключенных с n повторениями

Если доля игроков типа О в популяции равна x , то каждый игрок типа В получает в среднем x (288 n + 72) + (1 — x )288 n , а типа О — x (324 n ) + (1 — x )(288 n — 72). Следовательно, уровень приспособленности типа О выше, если

x (324 n ) + (1 — x )(288 n — 72) > x (288 n + 72) + (1 — x ) 288 n , 36 xn > 72,

Опять же, мы снова получили две мономорфные эволюционно устойчивые стратегии: одна — когда популяция состоит только из игроков типа О (или x = 1 — к этому значению сходится процесс начиная с любого значения x > 2/ n ), а другая — когда популяция состоит только из игроков типа В (или x = 0 — к этому значению сходится процесс начиная с любого значения x < 2/ n ). Как показано на рис. 12.4, существует только одно неустойчивое полиморфное равновесие в равновесной точке x = 2/ n .

Обратите внимание, что доля игроков типа О в равновесной точке зависит от n : она меньше, когда значение n больше. При n = 10 доля игроков типа О составляет 2/10, или 0,2. Так что, если популяция изначально состоит из 20 % игроков типа О, в ситуации, когда каждая пара проводит 10 повторений игры, доля игроков типа О будет расти до тех пор, пока не достигнет 100 %. Вспомним, что, когда пары проводили три раунда игры ( n = 3), игрокам типа О понадобилась более крупная исходная доля в размере не менее 67 %, чтобы достичь аналогичного результата, а в случае всего двух повторений доля игроков типа О в популяции должна была составлять 100 %, чтобы они выжили. (Мы видим причину такого исхода в нашем выражении для вычисления критического значения x , которое показывает, что при n = 2 значение x должно превышать 1, прежде чем уровень приспособленности типа О повысится.) Не забывайте также о том, что популяция, состоящая исключительно из игроков типа О, добивается сотрудничества. Таким образом, оно формируется при выполнении более широкого диапазона исходных условий, когда игра повторяется большее число раз. В этом смысле при большем количестве повторений вероятность сотрудничества увеличивается. То есть ценность установления сотрудничества повышается по мере увеличения длительности периода взаимодействия.