Авинаш Диксит - Стратегические игры

И наконец, вернемся к трижды повторяющейся игре, представленной на рис. 12.3, и вместо использования эволюционной модели проанализируем ее как игру с участием двух игроков, осознанно придерживающихся рационального поведения. Каковы в ней равновесия Нэша? Есть два равновесия в чистых стратегиях, одно — когда оба игрока выбирают стратегию В, а другое — когда оба игрока выбирают стратегию О. Существует также равновесие в смешанных стратегиях, в котором стратегия О используется в 67 % случаев, а стратегия В — в 33 % случаев. Два первых равновесия и есть те мономорфные эволюционно устойчивые стратегии, которые мы нашли, а третье равновесие — это неустойчивое полиморфное эволюционное равновесие. Другими словами, существует тесная связь между эволюционным подходом к таким играм и подходом, основанным на концепции осознанной рациональности игроков.

Это не совпадение. Эволюционно устойчивая стратегия должна быть равновесием Нэша в игре, которую ведут осознанно рациональные игроки, с такой же структурой выигрышей. Для того чтобы в этом удостовериться, предположим на мгновение обратное. Если применение всеми игроками какой-то стратегии (назовем ее S) не приводит к равновесию Нэша, то другая стратегия (назовем ее R) должна обеспечивать более высокий выигрыш одному игроку в игре против стратегии S. Мутант, использующий стратегию R, достигнет более высокого уровня приспособленности в популяции, выбравшей стратегию S, и ему удастся захватить эту популяцию. Следовательно, стратегия S не может быть эволюционно устойчивой. Это равносильно утверждению, что если стратегия S эволюционно устойчива, то она должна быть равновесием Нэша для всех игроков, ее использующих.

Таким образом, эволюционный подход обеспечивает косвенное обоснование рационального подхода. Даже когда игроки не предпринимают осознанных действий, направленных на максимизацию своего выигрыша, если более эффективные стратегии разыгрываются чаще, а менее эффективные исчезают и в итоге процесс сводится к устойчивой стратегии, то исход должен быть таким же, как и исход в случае рациональной игры.

Хотя эволюционно устойчивая стратегия должна быть равновесием Нэша в соответствующей рациональной игре, обратное неверно. Мы привели два примера, подтверждающих этот вывод. В дважды повторяющейся дилемме заключенных на рис. 12.2, основанной на рациональном поведении игроков, стратегия О была бы равновесием Нэша в том слабом смысле, что при выборе ее обоими игроками ни один из них не получит положительной выгоды от перехода к стратегии В. Однако в случае эволюционного подхода стратегия В может возникнуть в качестве мутации и успешно захватить популяцию типа О. А в трижды повторяющейся дилемме заключенных (см. рис. 12.3и рис. 12.4) рациональная игра приведет к формированию равновесия в смешанных стратегиях. Однако его биологический аналог, полиморфное состояние, могут захватить мутанты, а значит, это равновесие не будет истинным эволюционно устойчивым. Следовательно, биологическая концепция устойчивости может помочь нам при выборе из всего множества равновесий Нэша в рациональной игре.

В нашем анализе повторяющейся игры есть одно ограничение. Изначально мы исходили из допущения о наличии всего двух стратегий, В («всегда отказ от сотрудничества») и О («око за око»). То есть предполагалось, что больше никаких стратегий нет или не может возникнуть вследствие мутации. В биологии типы появляющихся мутаций зависят от генетических факторов. В социальных, политических или экономических играх формирование новых стратегий предположительно определяется историей, культурой и опытом игроков. Кроме того, способность людей усваивать и обрабатывать информацию также должна сыграть свою роль. Тем не менее в нашей модели в данной ситуации ограничения, которые мы накладываем на комбинацию стратегий, возможных в определенной игре, имеют важные последствия в свете того, какие из этих стратегий (если они есть) могут быть эволюционно устойчивыми. Если бы мы допустили в примере с трижды повторяющейся дилеммой заключенных существование стратегии S, которая сводится к сотрудничеству во время первого раунда и отказу от него в ходе второго и третьего, то мутанты типа S могли бы успешно захватить популяцию, состоящую только из игроков типа О, поэтому стратегия О не была бы эволюционно устойчивой. Дальнейший анализ подобной перспективы содержится в примерах в конце данной главы.

Помните юношей 1950-х годов, которые мчатся навстречу друг другу в автомобилях и ждут, кто свернет первым, чтобы избежать столкновения? Теперь предположим, что у них нет выбора: каждый генетически запрограммирован быть либо «тюфяком» (всегда сворачивать в сторону), либо «мачо» (всегда ехать прямо). Популяция состоит из комбинации двух типов. Каждую неделю случайным образом выбираются пары для участия в игре. На рис. 12.6 представлена таблица выигрышей каждого из двух игроков — скажем, А и Б. (Значения в таблице те же, что и в таблице на рис. 4.13 из главы 4.)

Рис. 12.6.Таблица выигрышей для игры в труса

Какие результаты получат два типа игроков? Ответ зависит от исходного соотношения типов в популяции. Если она почти полностью состоит из «тюфяков», то мутант типа «мачо» будет выигрывать и в основном получать выигрыш 1, тогда как все «тюфяки» в противостоянии с себе подобными получат большей частью нули. Но если популяция почти полностью состоит из «мачо», то мутант типа «тюфяк» получит −1, что хоть и выглядит плохо, но все же лучше выигрыша −2, который получат все «мачо». Можно представить эту ситуацию с точки зрения биологического контекста и сексизма 1950-х годов: в популяции «тюфяков» новичок «мачо» покажет всем, что они трусы, и тем самым произведет впечатление на девушек. Но если в популяции преимущественно «мачо», то в большинстве случаев они окажутся в больнице, а девушкам придется искать немногочисленных здоровых «тюфяков».

Иными словами, уровень приспособленности каждого типа выше, когда он встречается в популяции относительно редко. Следовательно, каждый тип может успешно захватить популяцию, состоящую из представителей другого типа. В таком случае следует ожидать, что оба типа в популяции находятся в равновесии; то есть эволюционно устойчивая стратегия должна представлять собой комбинацию типов, или быть полиморфной.

Для того чтобы определить соотношение «тюфяков» и «мачо» в такой эволюционно устойчивой стратегии, вычислим уровень приспособленности каждого типа в общей смешанной популяции. Пусть x — это доля «мачо», а (1 — x ) — доля «тюфяков». Один «тюфяк» встречается с другим «тюфяком» и получает 0 в (1 — x ) случаях, а при встрече с «мачо» — −1 в x случаев. Следовательно, уровень приспособленности «тюфяка» составляет 0 × (1 — x ) — 1 × x = — x . Точно так же уровень приспособленности «мачо» равен 1 × (1 — x ) — 2 x = 1–3 x . Уровень приспособленности типа «мачо» выше при выполнении условия