Авинаш Диксит - Стратегические игры

Упражнения с решениями

S1.Рассмотрим ситуацию с переговорами между Compaq Computer Corporation и калифорнийским бизнесменом, которому принадлежал домен www.altavista.com [314]. Компания Compaq, недавно поглотившая Digital Equipment Corporation, хотела использовать веб-адрес этого бизнесмена для поисковой системы Digital, у которой был тогда адрес www.altavista.digital.com. Судя по всему, летом 1998 года между Compaq и бизнесменом велись долгие и трудные переговоры о цене продажи этого домена.

Хотя бизнесмен был «более мелким» участником игры, окончательное соглашение подразумевало продажу домена по цене 3,35 миллиона долларов. В августе компания Compaq подтвердила его покупку, а в сентябре начала его использовать, но отказалась сообщать финансовые подробности сделки. С учетом этой информации выскажите свое мнение о возможных значениях BATNA двух игроков, силе их переговорных позиций и уровне нетерпения, и был ли достигнут кооперативный исход в этой игре.

S2.Али и Баба делят общую сумму, которая стартует с сотни долларов. Али делает первое предложение, в котором оговорено, как будут разделены 100 долларов. Если Баба его примет, игра завершится. Если отклонит, общая сумма сократится на 1 доллар и составит 99 долларов. И дальше Баба делает предложение. Так они поочередно делают предложения, и каждый раз, когда предложение отклоняется, из общей суммы вычитается один доллар. BATNA Али составляет 2,25 доллара, а BATNA Бабы — 3,50 доллара. Найдите равновесие обратных рассуждений в этой игре.

S3.Две гипотетические страны Эуфория и Милишия ведут переговоры об урегулировании конфликта. Их представители встречаются раз в месяц, начиная с января, и по очереди делают предложения. Допустим, общая сумма выигрыша от достижения соглашения составляет 100 баллов. В ноябре правительству Эуфории предстоят перевыборы. Если на октябрьской встрече оно не добьется заключения договора, то проиграет выборы, что для него так же плохо, как и получить от соглашения ноль баллов. Правительство Милишии абсолютно не интересует исход соглашения; оно может продолжить переговоры или даже начать воевать, поскольку его устроит любой выигрыш, даже намного меньше 100 баллов.

a) Каким будет исход переговоров? Как он зависит от того, кто сделает первый ход?

b) С учетом ответа, полученного в пункте а, объясните, почему реальные переговоры часто ведутся вплоть до крайнего срока.

U1.Вспомните вариант игры в установление цены на пиццу из пункта b упражнения U2в главе 10, в котором один ресторан (ресторан Донны Deep Dish) был гораздо больше другого (ресторан Пирса Pizza Pies). Таблица выигрышей этой игры выглядит так:

Некооперативное равновесие в доминирующих стратегиях («высокая цена» / «низкая цена») обеспечивает прибыль 132 пиццерии Донны и 70 пиццерии Пирса, что в сумме равно 202. Если бы владельцы обоих ресторанов могли достичь равновесия («высокая цена» /«высокая цена»), их общая прибыль составила бы 156 + 60 = 216, но Пирс не согласился бы на такую цену.

Предположим, рестораны могут достичь поддающегося принудительному выполнению соглашения, по условиям которого оба назначают высокую цену и Донна выплачивает Пирсу определенную сумму. Альтернатива такому соглашению — некооперативное равновесие в доминирующих стратегиях. Владельцы ресторанов ведут переговоры о заключении соглашения, причем переговорная позиция Донны в 2,5 раза сильнее, чем Пирса. Какую сумму выплатит Донна Пирсу по условиям соглашения, достигнутого в результате переговоров?

U2.Рассмотрим двух игроков, договаривающихся по поводу излишка, изначально равного целой величине V , посредством чередующихся предложений. Другими словами, игрок 1 делает предложение в первом раунде; если игрок 2 отклоняет его, он делает предложение во втором раунде; если игрок 1 отклоняет его, он делает предложение в третьем раунде и т. д. Предположим, на протяжении каждого периода имеющийся излишек уменьшается на постоянную величину c = 1. Например, если игроки достигают соглашения во втором раунде, они делят излишек V — 1, если в пятом раунде, то V — 4. Это означает, что игра закончится после V раундов, поскольку больше будет не о чем договариваться. (Для сравнения вспомните пример с билетом на футбол, в котором его стоимость для болельщика начиналась со 100 долларов и снижалась на 25 долларов за одну четверть в течение четырех четвертей матча.) В этой задаче сперва необходимо найти равновесие обратных рассуждений, а затем равновесие обобщенной версии этой игры, в которой два игрока могут иметь BATNA.

a) Начнем с простой версии. Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 4. В каком периоде игроки достигнут соглашения? Какой выигрыш x получит игрок 1 и какой выигрыш достанется игроку 2?

b) Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 5.

c) Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 10.

d) Найдите равновесие обратных рассуждений при V = 11.

e) Теперь подготовьтесь обобщить результат. Каким будет равновесие обратных рассуждений при любом целом значении V ? (Подсказка: вам нужно проанализировать четные и нечетные значения V по отдельности.)

Теперь рассмотрите BATNA. Представим, что к концу раунда V соглашение не достигнуто, игрок А получает выигрыш a , а игрок Б — выигрыш b . Предположим также, что a и b — целые числа, удовлетворяющие неравенству a + b < V , а значит, достигнув соглашения, игроки могут получить более высокие выигрыши, чем в противном случае.

f) Допустим, V = 4. Каким будет равновесие обратных рассуждений при любых возможных значениях a и b ? (Подсказка: вам может понадобиться вывести более чем одну формулу, точно так же как в пункте e. Если вы не справитесь с этой задачей, попытайтесь сперва решить ее при конкретных значениях a и b , а затем измените их и посмотрите, что произойдет. Для того чтобы выполнить анализ методом обратных рассуждений, вам необходимо определить, на каком шаге значение V уменьшается до такого уровня, что соглашение больше не будет обеспечивать прибыль двум сторонам переговоров.)

g) Предположим, V = 5. Каким будет равновесие обратных рассуждений при любых возможных значениях a и b ?

h) Каким будет равновесие обратных рассуждений при любых возможных значениях a, b и V ?

i) Смягчите условие о том, что a, b и V — целые числа: пусть они будут неотрицательными, удовлетворяющими неравенству a + b < V . Также измените предположение, что значение V уменьшается на 1 каждый период: пусть оно уменьшается за каждый период на постоянную величину c > 0. Найдите равновесие обратных рассуждений в этой обобщенной задаче.