Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

is the problem's very centre.

See, I have a rhyme assisting

my feeble brain,

its tasks sometimes resisting.

How I wish I could enumerate pi easily, since all these horrible mnemonics prevent recalling any of pi's sequence more simply.

Последняя фраза выдает нас с головой: все приведенные фразы – это мнемонические правила – тексты, помогающие запомнить часть числа π. Придумано даже слово для подобных вещей: пифилология . Чтобы воспользоваться таким мнемоническим правилом, нужно сосчитать буквы в последовательных словах: 3, 1, 4, 1, 5, …

Некоторые из многочисленных запоминалок для π обсуждались в книге «Кабинет…»; здесь мы вспомним одну из них (приведенную ниже запоминалку на французском языке) и посмотрим еще несколько. Вообще, таких запоминалок существует множество, см., к примеру, сайты:

http://en.wikipedia.org/wiki/Piphilology

http://uzweb.uz.ac.zw/science/maths/zimaths/pimnem.htm

Одно из самых известных мнемонических правил для π – александрийский стих (поэтический размер), который начинается так:

и продолжается до 126 знаков. Я особенно рекомендую следующую португальскую запоминалку:

Sou o medo e temor constante do menino vadio. (Я – постоянный страх и ужас для ленивых мальчиков.)

А вот румынский вариант:

Asa e bine a scrie renumitul si utilul numar. (Это правильный способ писать знаменитое и полезное число.)

Он обладает несомненным достоинством понятности и простоты [7] На русском языке также есть аналогичные мнемонические формулы, например такие: Это я знаю и помню прекрасно: Пи многие знаки мне лишни, напрасны. Доверимся знаньям громадным Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. «Как я хочу и желаю надраться до чертей после сих тупых докладов, наводящих тяжелую депрессию». «Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать». Приведенные автором примеры на английском и других языках оставлены нами без перевода. – Прим. пер. .

Стихи, посвященные числу π, называют пиэмами . 32-й знак π равен 0, а слово нулевой длины вставить невозможно. Однако существуют способы обойти это препятствие. В пилише – кодовой системе, обычно используемой для π-мнемоники, за 0 считается десятибуквенное слово. Майк Кейт в «Автореферентной истории» [8] Mike Keith, The Mathematical Intelligencer 8 (No.4) (1986) 56–57. использовал другой набор правил. Это, насколько мне известно, самый длинный образец на сегодняшний день («Книга рекордов Гиннесса» мне свидетель) – это «Cadaeiccadenza» (3834 знака) и книга «NotAWake» (10 000 знаков) того же Кейта. Книга начинается так:

Здесь десятибуквенные слова считаются за 0, а более длинные – за два знака; к примеру, 13-буквенное слово обозначает 13.

На сайте Кейта вы сможете найти огромное количество дополнительной информации и примеров.

http://cadaeic.net

Листая потрепанные страницы своих записных книжек, я вспоминаю бесчисленные загадки, которые Сомс решал, обращая внимание на улики столь тонкие, что они успешно ускользали от внимания менее острых умов. В памяти всплывают такие дела, как приключение суссекского эмпайра (замечательная таинственная история спортивной раздевалки, решающую роль в разгадке которой сыграл слишком быстро истершийся мяч для крикета), история коровы со сломанным рогом, покушение на тройное убийство подсвинка и дело о пропавшем пироге. Однако среди этих дел одно стоит особняком: это загадка, единственным ключом к которой служило полное отсутствие каких бы то ни было зацепок и улик.

Дело происходило в мокрый пасмурный вторник, когда улицы Центрального Лондона были заполнены густой смесью дыма и тумана. Мы отказались на некоторое время от активного преследования преступников ради раздумий у теплого огня в компании объемистых бокалов вездесущего и даже немного надоевшего кларета.

– Послушайте, Сомс, – заметил я.

Мой коллега перебирал толстую стопку фотографических пластинок, запечатлевших отпечатки копыт в грязи и полученных с использованием нового, улучшенного Истманом желатинового процесса Мэддокса. Его единственной реакцией на мое восклицание стало раздраженное:

– Вы нигде не видели моей коллекции фотографий упряжных лошадей, Ватсап?

Однако я человек упрямый.

– В этом деле нет ни одной зацепки, Сомс.

– Оно такое не одно, – мрачно пробормотал он.

– Нет, я имею в виду… вообще никаких указаний, ни одной улики.

Вот теперь мои слова его наконец заинтересовали, я ясно это видел. Он взял газету из моей протянутой руки и взглянул на диаграмму.

– В данном случае правила очевидны, Ватсап, хотя их здесь и нет.

– Почему?

– Они должны быть достаточно простыми, чтобы мотивировать читателя к разгадыванию загадки, но создавать при этом достаточно сложную задачу, способную удержать интерес.

– Несомненно. Так какие же здесь правила, Сомс?

– Ясно, что в каждой строке и в каждом столбце должны содержаться числа 1, 2, 3 и 4 ровно по одному разу каждое.

– Ах! Так это комбинаторная задачка, разновидность латинского квадрата.

– Да, но этого мало. Очевидно, что важны также две области, разграниченные жирной черной линией. Я предполагаю, что числа в той и другой области при сложении должны давать одинаковую сумму… Да, тогда решение будет единственным.

– Ага! Интересно, какое это решение.

– Вы же знаете мои методы, Ватсап. Воспользуйтесь ими, – и он вернулся к рассматриванию фотографических пластинок.

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные». Если вас заинтересовали задачи без указаний, то их дополнительные примеры вы найдете в главе «Дверца страха».

Современные читатели узнают в головоломке Ватсапа один из вариантов судоку. (На случай, если вы только что вернулись из сорокалетней экспедиции на Проксиму Центавра, поясню: это квадрат 9 × 9, разделенный на 9 блоков 3 × 3, причем в некоторых клетках заранее проставлены цифры. Нужно заполнить остальные клетки таким образом, чтобы в каждой строке, каждом столбце и каждом блоке содержались все цифры от 1 до 9.)

Похожие, но существенно различающиеся головоломки известны давно и имеют долгую историю, восходящую к китайцу Ло Шу и его магическому квадрату, который он будто бы увидел на спине черепахи примерно в 2100 г. до н. э. Книга «Математические и физические развлечения» Жака Озанама, написанная в 1725 г., включала в себя головоломку на тему карточной игры, чуть более близкую к судоку. Возьмите 16 фигурных карт (это туз, король, дама и валет) и выложите их квадратом так, чтобы в каждом ряду и каждом столбце содержались карты всех мастей и достоинств. Кэтлин Оллереншоу показала, что существует 1152 решения этой задачи, которые сводятся всего лишь к двум принципиально разным вариантам, если считать, что два решения совпадают, если одно может быть получено из другого перестановкой мастей или достоинств. Существует 24 × 24 = 576 способов сделать это с любым заданным решением, а 1152/576 = 2.