Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Из-за большого потока машин автобус, следующий из Эдинбурга в Лондон, проходит расстояние в 400 миль за 10 часов со скоростью 40 миль в час. На обратный путь у него уходит 8 часов со скоростью 50 миль в час. Какова средняя скорость автобуса за все время пути?

Очевидный ответ – 45 миль в час, среднее арифметическое между 40 и 50, для получения которого числа складывают, а сумму делят пополам. Однако в целом автобус проезжает 800 миль за 18 часов, и средняя скорость при этом равна 800/18 = 44 4/ 9миль в час.

Как это может быть?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Головоломку без дополнительных указаний придумали Джерард Баттерс, Фредерик Хенле, Джеймс Хенле и Колин МакГоги. Это вариант судоку, который мне нравится называть псевдоку без дополнительных указаний. Вам предлагается решить еще четыре такие головоломки. Правила:

• Каждая строка и каждый столбец должны содержать каждое из чисел 1, 2, 3, …, n ровно по одному разу, где n – размер квадрата.

• Числа в каждой из областей, обведенных жирной линией, должны при сложении давать одну и ту же сумму. Я выписал значение этой суммы над каждым квадратом, чтобы избавить вас от необходимости искать ее самостоятельно. Все головоломки, кроме последней, имеют единственное решение, а последняя – два симметричных варианта.

Ответы и ссылку на дополнительные материалы см. в главе «Загадки разгаданные».

Треугольные числа 1, 3, 6, 10, 15 и т. д. определяются сложением последовательных чисел, начиная с 1:

1 = 1;

1 + 2 = 3;

1 + 2 + 3 = 6;

1 + 2 + 3 + 4 = 10;

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

и т. д. Для таких чисел существует формула:

1 + 2 + 3 + … + n = n ( n + 1)/2.

Чтобы доказать ее, можно, в частности, записать сумму дважды, примерно так:

1 + 2 + 3 + 4 + 5;

5 + 4 + 3 + 2 + 1.

Из этой записи видно, что числа в вертикальных столбцах при сложении дают одно и то же, в данном случае 6. Поэтому удвоенная сумма равна 6 × 5 = 30, а сумма равна 15. Если проделать то же самое с числами от 1 до 100, все получится примерно так же: будет 100 колонок, дающих при сложении сумму 101, так что сумма первых 100 чисел должна составлять половину от 100 × 101, то есть 5050. В более общем случае при сложении первых n чисел мы получаем половину от n ( n + 1). Формула готова.

Существует формула и для суммы квадратов, но более сложная:

1 + 4 + 9 + … + n ² = n ( n + 1) (2 n + 1)/6.

А вот с кубами происходит нечто поразительное:

1³ = 1;

1³ + 2³ = 9;

1³ + 2³ + 3³ =36;

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100;

1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = 225.

Результаты здесь – квадраты соответствующих треугольных чисел.

Почему в результате суммирования кубов получаются квадраты? Можно найти формулу и доказать таким способом все, что нам нужно, но существует очень аккуратное наглядное доказательство того, что 1³ + 2³ + 3³ + … + n ³ = (1 + 2 + 3 + … + n )², для которого не нужны никакие формулы.

На рисунке показан один квадрат со стороной 1, два квадрата со стороной 2 (образующие куб 2 × 2 × 2), 3 квадрата со стороной 3 (куб 3 × 3 × 3) и т. д. Так что суммарная площадь этой фигуры представляет собой сумму последовательных кубов. Следуя вдоль одной из сторон (к примеру, верхней), видим 1 + 2 + 3 + 4 + 5, то есть сумму последовательных чисел. Но площадь квадрата равна квадрату его стороны. Готово!

Если вам непременно нужна формула, то мы знаем, что (1 + 2 + 3 + … + n ) = n ( n + 1)/2, а возведение в квадрат дает 1³ + 2³ + 3³ + … + n ³ = n ² ( n + 1)²/4.

Сомс передал мне конверт и поднял в руке извлеченное из него письмо.

– Проверка на наблюдательность, Ватсап. Кто, по-вашему, мог прислать мне это?

Я поднес конверт к свету, оглядел марку и штемпель, понюхал, исследовал клей в том месте, где письмо было запечатано.

– Отправитель – женщина, – сказал я. – Незамужняя, но еще не старая дева, находится в активном поиске мужа. Она напугана, но храбрится, – я немного помолчал, и меня осенила еще одна мысль: – У нее плохо с финансами, но положение пока не катастрофическое.

– Очень хорошо, – сказал он. – Я вижу, вы усвоили некоторые из моих методов.

– Я стараюсь, – скромно заметил я.

– Объясните, что привело вас к этим выводам.

Я собрался с мыслями.

– Конверт розовый и несет на себе отчетливые следы какого-то аромата. Nuits de Plaisir, если я не ошибаюсь: моя приятельница Беатрис часто использует такой же. Для замужней женщины он слишком откровенен, а для молодой, напротив, недостаточно откровенен. Тот факт, что она вообще пользуется духами, указывает на активный поиск мужского внимания. Следы косметики на клапане это подтверждают. Но клеевой след был смочен лишь частично, а смачивают его языком, так что во рту у нее, вероятно, было сухо, когда она запечатывала конверт. Сухость во рту – признак страха. Но раз она все же заклеила конверт и отправила письмо, значит, она пока в состоянии действовать рационально, хотя и испытывает сильное напряжение, а это признак храбрости. Наконец, по марке заметно, что ее отклеили над паром от другого конверта и использовали вторично – загнутый уголок, следы предыдущего почтового штемпеля. Это указывает на бережливость. Однако на духи деньги нашлись, так что нельзя сказать, что отправительница письма стоит на пороге бедности.

Он задумчиво кивнул, а я мысленно похвалил себя.

– Кое-какие признаки вы упустили, – негромко заметил Сомс, – что показывает всю эту историю в новом свете. Форма и размер конверта говорят о правительственной рассылке, такой конверт не купишь в первом попавшемся писчебумажном магазинчике. Вы можете прочесть об этом в моей монографии о канцелярских принадлежностях и характерных для них размерах. Чернила, которыми написан адрес, имеют необычный темно-коричневый оттенок; опять же, такие чернила не купишь в магазине, а вот в некоторые департаменты Уайтхолла их поставляют в больших количествах.

– Ах! Значит, ее нынешний сердечный друг – чиновник, конверт и чернила она позаимствовала у него.

– Разумная теория, – сказал он. – Совершенно неверная, разумеется, но в высшей степени разумная, к тому же в основном соответствует нашим данным. Однако на самом деле это письмо от моего брата Спайкрафта.

Я был поражен до глубины души.

– У вас есть брат? – Сомс никогда не говорил о своей семье.