Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Да, неужели я не упоминал его? Большое упущение с моей стороны.

– Откуда вы знаете, что письмо от него?

– Оно подписано.

– Ах. Но что вы скажете про остальные признаки?

– Это небольшая шутка со стороны Спайкрафта. Но надо спешить, нам назначена встреча в клубе «Диофант», едем немедленно. Дайте шестипенсовик какому-нибудь мальчишке, пусть приведет нам кэб, по пути я введу вас в курс дела.

Пока мы тряслись в кэбе вдоль Портленд-плейс, Сомс рассказал, что его брат – отставной специалист по простым числам и иногда частным образом выполняет заказы правительства Ее Величества. Он отказался говорить о сути предстоящего нам дела, сказав лишь, что оно в высшей степени конфиденциальное и связано с политикой.

По прибытии в клуб «Диофант» нас провели в гостевой зал, где в удобном кресле нас дожидался какой-то джентльмен. С первого взгляда он произвел на меня впечатление вялой тучности, но быстро выяснилось, что за этой внешностью скрываются острый ум и активное тело, полностью опровергающие ту, первую оценку.

Сомс представил нас.

– Вы часто находите мои дедуктивные способности поразительными, Ватсап, – сказал он, – но Спайкрафту я в подметки не гожусь.

– Есть все же одна область, в которой твои способности превосходят мои, – возразил его брат. – Речь идет о логических головоломках, в которых точные условия текучи, как вода. В них я всегда чувствую, что лишен опоры, с которой мог бы атаковать задачу. Отсюда моя записка.

– Насколько я понял, ты не возражаешь против того, чтобы рассказать все доктору Ватсапу?

– Его послужной список в Ал-Гебраистане безупречен. Он должен поклясться в сохранении тайны, но его слова будет достаточно.

Сомс бросил на брата острый взгляд.

– С каких это пор ты готов принять чье-то слово, это на тебя не похоже.

– Этого будет достаточно, когда я проинформирую его о последствиях его нарушения.

Я должным образом поклялся, и мы перешли к делу.

– Некий важный документ был случайно положен в ненадлежащее место, а затем украден, – сказал Спайкрафт. – Безопасность Британской империи требует безотлагательно найти его и вернуть на место. Если этот документ попадет в руки наших врагов, полетят головы и части империи могут пасть. К счастью, местный констебль мельком видел вора, и этого оказалось достаточно, чтобы сузить круг подозреваемых до четырех человек.

– Кто они? Мелкие воришки?

– Нет, все четверо весьма уважаемые джентльмены. Адмирал Арбатнот, банкир Берлингтон, врач Волверстон и генерал Гамильтон.

Сомс резко выпрямился.

– Значит, здесь отметился Могиарти.

Не успев проследить за его рассуждениями, я попросил объяснить.

– Все четверо – шпионы, Ватсап. И работают на Могиарти.

– Значит… Значит, Спайкрафт, должно быть, связан с контрразведкой! – воскликнул я.

– Да, – он коротко взглянул на брата. – Но вы не слышали этого от меня.

– А этих предателей допросили? – спросил я.

Спакрафт вручил мне досье, и я прочел вслух, чтобы Сомс тоже мог слышать.

– На допросе Арбатнот сказал: «Это сделал Берлингтон». Берлингтон сказал: «Арбатнот лжет». Волверстон сказал: «Это не я». Гамильтон сказал: «Это сделал Арбатнот». Это все.

– Не совсем все. Из другого источника нам известно, что ровно один из них сказал правду.

– У вас есть информатор в близком окружении Могиарти, Спайкрафт?

– У нас был информатор, Хемлок. Его удавили его собственным галстуком, прежде чем он успел назвать нам реальное имя. Очень печальная история: это был галстук выпускника Итонского колледжа, и он совершенно испорчен. Однако не все еще потеряно. Если мы сможем вычислить вора, мы получим ордер на обыск и вернем документ. За всеми четверыми наблюдают, у них не будет возможности передать бумагу Могиарти. Но руки у нас связаны – мы должны придерживаться буквы закона. Более того, если мы придем с обыском не в тот дом, юристы Могиарти предадут нашу ошибку огласке и нанесут нам тем самым непоправимый ущерб.

Кто из подозреваемых вор? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Один фермер хотел огородить как можно больший участок поля как можно более короткой оградой. Не слишком, может быть, хорошо подумав, он обратился с этим в местный университет, который прислал ему для консультации инженера, физика и математика.

Инженер построил круглую ограду и сказал, что в данном случае окружность – самая эффективная фигура.

Физик построил прямую ограду такой длины, что ее концы невозможно было разглядеть, и сказал фермеру, что фактически эта ограда идет вокруг Земли, так что он огородил ровно половину планеты.

Математик построил тесную круглую ограду вокруг себя и сказал, что он, математик, находится снаружи.

1 × 8 + 1 = 9;

12 × 8 + 2 = 98;

123 × 8 + 3 = 987;

1234 × 8 + 4 = 9876;

12345 × 8 + 5 = 98765.

Итак, вопросы для начинающих Хемлоков Сомсов: что дальше и когда эта закономерность прекратится?

Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

Кстати, об оградах… Что представляет собой ограда наименьшей длины, перекрывающая все линии зрения, проходящие через квадратное поле? Имеется в виду такая ограда, которая пересекалась бы с любой прямой, проходящей через поле. Это и есть «Задача о непрозрачном квадрате»; название указывает, что нужно сделать квадрат полностью непрозрачным для взгляда. Вопрос этот первым задал Стефан Мазуркевич в 1916 г., причем для произвольной фигуры, не только для квадрата. Ответа на него до сих пор нет, хотя некоторый прогресс достигнут.

Предположим, что сторона квадратного поля равна единице. Тогда ограды вдоль всех четырех сторон квадрата наверняка будет достаточно, и ее длина будет равна 4. Однако можно убрать одну из сторон, и квадрат при этом останется непрозрачным, а ответ уменьшится до 3. Это и есть ограда наименьшей длины, образованная одной ломаной линией. Но если мы разрешим строить ограды из нескольких отдельных отрезков прямых, то на ум быстро придет более короткий вариант: две диагонали поля суммарной длиной 2√2 = 2,828 (приближенно).

Можно ли добиться лучшего результата? Один общий факт очевиден: непрозрачная ограда, полностью умещающаяся в пределах поля, обязательно должна содержать все четыре угла квадрата. Если хотя бы один из углов не будет включен в нее, найдется прямая, которая пересечет квадрат в этой единственной точке (она пройдет снаружи по диагонали через угол) и минует нашу ограду. Но даже одна такая прямая станет нарушением условия задачи.

Любая ограда, включающая в себя все четыре угла и соединяющая их, должна быть непрозрачной, потому что любая прямая, рассекающая квадрат, должна либо проходить через угол, либо разделять два угла, а значит, любая линия, соединяющая углы, непременно с ней пересечется. Но является ли пара диагоналей наименее протяженной из подобных оград? Нет, не является. Самая короткая ограда, соединяющая все четыре угла квадрата, называется деревом Штейнера и имеет длину 1 + √3 = 2,732 (приближенно). Линии, составляющие это дерево, встречаются под углами 120°.