Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Вот первые несколько простых чисел:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37.

Вообще, простых чисел бесконечно много, и они неравномерно распределены по всему множеству натуральных чисел. На протяжении долгого времени простые числа были гигантским источником вдохновения для математиков, и многие их загадки этих чисел с течением времени были решены. А многие другие по-прежнему сохраняют тайну.

В 2013 г. специалисты по теории чисел добились неожиданного прогресса в отношении двух великих загадок, связанных с простыми числами. Первая из них относится к промежуткам между последовательными простыми числами, и я расскажу о ней сейчас. Вторая последует чуть позже.

Все простые числа, за исключением числа 2, нечетные (поскольку все четные числа по определению кратны двум), поэтому два последовательных числа (за исключением пары 2, 3) не могут оба быть простыми. Однако два числа, различающиеся на 2, могут: например, пары (3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19); несложно найти и еще варианты. Такие пары простых чисел называются простыми числами-близнецами .

Предположение о том, что существует бесконечное число пар простых чисел-близнецов, высказано давно, но до сих пор не доказано. До недавнего времени прогресс в этом вопросе был минимальным, но в 2013 г. Чжан Итан поразил математический мир заявлением о том, что он мог бы доказать, что существует бесконечное число пар простых чисел, которые различаются между собой не более чем на 70 млн. После этого его статья была принята к публикации ведущим журналом теоретической математики Annals of Mathematics . Возможно, это утверждение звучит слабовато по сравнению с гипотезой о простых числах-близнецах, но впервые кому-то удалось показать, что бесконечное число простых чисел различается между собой не более чем на некоторую фиксированную величину. Если бы 70 млн можно было как-нибудь ужать до 2, это решило бы проблему гипотезы о простых числах-близнецах.

Сегодня математики все чаще пользуются Интернетом, чтобы объединить силы в работе над какой-нибудь задачей, и Теренс Тао организовал коллаборацию, целью которой стало снижение числа 70 млн до чего-нибудь поменьше. Он сделал это в рамках проекта Polymath – системы, созданной для содействия работам такого рода. По мере того как математики лучше понимали методы Чжана, число сдавалось. Джеймс Мэйнард снизил число 70 млн до 600 (и даже до 12, если принять еще одно предположение, известное как гипотеза Эллиота – Халберстама). К концу 2013 г. новые идеи Мэйнарда снизили это число до 270.

Это пока не 2, но намного ближе к делу, чем 70 млн.

Вторая загадка, связанная с простыми числами и нашедшая, наконец, решение (вероятно!), восходит к 1742 г., когда немецкий математик-любитель Христиан Гольдбах написал Леонарду Эйлеру письмо, содержавшее несколько наблюдений над простыми числами. Одно из них выглядело так: «Любое целое число, большее 2, можно записать как сумму трех простых чисел». Эйлер тогда вспомнил предыдущую беседу, в которой Гольдбах сделал родственное предположение: «Любое четное целое число есть сумма двух простых чисел».

При господствовавшем на тот момент представлении, что 1 – целое число, из второго заявления следует первое, поскольку любое число может быть записано либо как n + 1, либо как n + 2, где n – четное. Если n есть сумма двух простых чисел, то число, о котором идет речь, есть сумма трех простых чисел. Эйлер сказал: «Я рассматриваю это [второе утверждение] как полностью верную теорему, хотя и не могу доказать ее». Надо сказать, что эти слова довольно точно характеризуют состояние проблемы на сегодняшний день.

Однако мы уже не считаем 1 простым числом, о чем говорилось выше. Потому мы сегодня разбиваем задачу Гольдбаха на две отдельные гипотезы.

Бинарная проблема Гольдбаха утверждает:

«Всякое четное число, большее 2, есть сумма двух простых чисел».

Тернарная проблема Гольдбаха (или проблема Гольдбаха для нечетных) гласит:

«Всякое нечетное число, большее 5, есть сумма трех простых чисел».

Из бинарной гипотезы следует тернарная, но не наоборот.

С годами нескольким математикам удалось добиться прогресса в этих вопросах. Самым сильным результатом по бинарной гипотезе, возможно, является результат Чэнь Цзинжуня, который доказал в 1973 г., что всякое достаточно большое четное целое число есть сумма простого и полупростого чисел (полупростое число – это либо простое число, либо произведение двух простых чисел).

В 1995 г. французский математик Оливье Рамаре доказал, что всякое четное число есть сумма не более шести простых чисел, а всякое нечетное число – сумма не более семи простых чисел. Среди специалистов стало крепнуть мнение, что проблема Гольдбаха для нечетных близка к решению, и они оказались правы: в 2013 г. Харальд Хельфготт объявил о доказательстве с применением связанных методов. Математики до сих пор проверяют его результат, но он, кажется, до сих пор держится. Из доказанной (будем надеяться) тернарной проблемы следует, что любое четное число есть сумма не более чем четырех простых чисел (если n – четное, то n – 3 – нечетное, а значит, сумма трех простых – q + r + s, поэтому n = 3 + q + r + s, то есть сумма четырех простых чисел). Это близко к бинарной проблеме Гольдбаха, но маловероятно, что ее удастся доказать полностью при помощи нынешних методов. Так что развиваться еще есть куда.

В математике есть свои тайны и загадки, и ученые, которые пытаются их разгадать, зачастую похожи на детективов. Они ищут зацепки, занимаются логической дедукцией, делают выводы и ищут доказательства собственной правоты. Как в делах Сомса, важнейший шаг в исследовании – это понять, как и с какого конца начать и какая линия рассуждений может привести к успеху. Во многих случаях мы до сих пор этого не знаем . Возможно, такое заявление звучит как признание собственного невежества, и в какой-то степени это действительно так. Но это заявление означает также, что новая математика до сих пор ждет своего открытия, а значит, эта область науки не вычерпана досуха. Простые числа – богатый источник правдоподобных предположений, о верности или ошибочности которых мы ничего не знаем. Вот некоторые из них. Во всех случаях pn обозначает n -е простое число.

Число p является простым в том, и только том случае, если pB p − 1 + 1 делится на p , где B k – это k -е число Бернулли (Takashi Agoh, 1990 г.). Если вам по-настоящему интересно, информацию об этих числах можно посмотреть в Интернете. Приведем первые несколько вариантов: