Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Все нечетные целые числа, большие 5, могут быть представлены как сумма нечетного простого числа и удвоенного простого числа (Émile Lemoine, 1894, Hyman Levy, 1963).

Д. Корбитт подтвердил эту гипотезу вплоть до 10 9.

В 1644 г. Марен Мерсенн объявил, что числа 2 n – 1 являются простыми для n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127 и 257 и составными для всех остальных положительных целых n <257. Позже было показано, что Мерсенн допустил пять ошибок: n = 67 и 257 дают составные числа, а n = 61, 89, 107 дают простые. Гипотеза Мерсенна привела к созданию новой гипотезы Мерсенна и гипотезы Ленстры – Померанца – Вагстаффа, которые значатся в нашем перечне следующими.

Для любого нечетного p если выполняются любые два из следующих условий, то выполняется и третье:

1. p = 2 k ± 1 или p = 4 k ± 3 для некоторого натурального числа k ;

2. число 2 p− 1 – простое (простое Мерсенна);

3. число (2 p + 1)/3 – простое (простое Вагстаффа).

(Paul Bateman, John Selfridge and Samuel Wagstaff Jr., 1989)

Существует бесконечное число простых Мерсенна, причем число простых Мерсенна, меньших x , приблизительно равно eγ ln ln x /ln 2, где γ – постоянная Эйлера, приблизительно равная 0,577 (Hendrik Lenstra, Carl Pomerance and Samuel Wagstaff Jr., не опубликовано).

Для любого целого числа n >1 существует по крайней мере одно простое число между n ( n – 1) и n ² и по крайней мере еще одно простое число между n ² и n ( n + 1) (Ludvig Henrik Ferdinand Oppermann, 1882).

Для любого положительного четного n существует бесконечное число пар последовательных простых чисел с разницей в n (Alphonsede Polignac, 1849).

Для n = 2 это утверждение соответствует гипотезе о простых числах-близнецах (см. ниже). Для n = 4 она означает, что существует бесконечно много пар «двоюродных простых чисел» ( p, p + 4). Для n = 6 она означает, что существует бесконечно много пар простых чисел ( p, p + 6), известных как sexy (от латинского названия числа 6); при этом между числами p и p + 6 простых чисел нет.

Всякий интервал [ x m, y n ] (то есть любое множество чисел от x m до y n ) содержит по крайней мере одно простое число, за исключением [2³, 3²], [5², 3³], [2 5, 6²], [11², 5³], [3 7, 13³], [5 5, 56²], [181², 21 5], [43³, 282²], [46³, 312²], [22434², 55 5] (Stephen Redmond and Zhi-Wei Sun, 2006).

Эта гипотеза подтверждена для всех интервалов [ x m, y n ] до 10¹².

Если π ( x ) есть число простых чисел вплоть до x , включая x , то π ( x + y ) ≤ π ( x ) + π ( y ) для x, y ≥ 2 (Godfry Harold Hardy and John Littlewood, 1923).

Существуют технические соображения, согласно которым можно ожидать, что это предположение окажется ложным, но первое нарушение возникнет, скорее всего, при очень больших величинах x , вероятно, больших, чем 1,5 × 10 174, но меньших, чем 2,2 × 10 1198.

Существует бесконечно много простых чисел p , таких, что число p + 2 тоже простое.

25 декабря 2011 г. PrimeGrid – «проект распределенных вычислений», в котором используются свободные ресурсы на компьютерах добровольцев, пожелавших принять в нем участие, объявил наибольшую известную на сегодняшний день пару простых чисел-близнецов:

3 756 801 695 685 × 2 666 669± 1.

Каждое из этих чисел содержит 200 700 знаков.

В интервале до 10 18содержится 808 675 888 577 436 пар простых чисел-близнецов.

Стоит подумать о Древнем Египте, и в голову сразу же приходят пирамиды, в первую очередь Великая пирамида Хеопса в Гизе, самая большая из всех, и стоящая рядом с ней пирамида Хефрена, чуть поменьше, и относительно небольшая пирамида Микерина. Известны остатки более чем 36 крупных и сотен более мелких египетских пирамид – от громадных и почти полностью сохранившихся до простых отверстий в земле, содержащих лишь несколько обломков камня от погребальной камеры, а иногда и того меньше.

О форме, размерах и ориентации пирамид написаны огромные тома. Большая часть их содержимого умозрительна; на основе различных численных соотношений выстраиваются весьма амбициозные цепочки рассуждений. Особенно любят исследователи Великую пирамиду: с чем только ее ни связывали – и с золотым сечением, и с числом π, и даже со скоростью света. К подобным рассуждениям возникает столько вопросов, что трудно воспринимать их серьезно: в любом случае данные, на которых они основаны, часто неточны; к тому же с таким количеством измерений и параметров всегда можно подобрать нужную комбинацию.

Один из лучших источников по пирамидам – книга The Complete Pyramids Марка Ленера. Помимо прочего в ней можно найти данные о наклоне граней пирамид: углы между плоскостями, проходящими через треугольные грани, и квадратным основанием пирамиды. Вот несколько примеров:

Более обширные данные вы можете найти на сайте http://ru.wikipedia.org/wiki/Список_египетских_пирамид

На ум приходят два наблюдения. Первое состоит в том, что приводить некоторые из этих углов с точностью до угловой секунды (а остальные до минуты) неразумно. Сторона основания Черной пирамиды Аменемхета III в Дашуре составляет 105 м, а высота – 75 м. Изменение угла наклона грани пирамиды на одну угловую секунду соответствует изменению высоты пирамиды на один миллиметр. Правда, следы ребер основания сохранились, как и некоторые фрагменты камней облицовки, но, учитывая общую степень сохранности пирамиды, вам трудно было бы оценить первоначальный наклон ее граней в пределах хотя бы 5° от истинной величины.

Второе, на что невольно обращаешь внимание, – это тот факт, что, хотя наклон граней пирамид немного варьируется (иногда даже в пределах одной пирамиды, как, к примеру, у Ломаной), у всех этих древних сооружений он близок к 54°. Почему?

В 1979 г. Р. Макмиллан [17] R.H. Macmillan, Pyramids and pavements: some thoughts from Cairo, Mathematical Gazette 63 (December 1979) 251–255. начал с того надежно установленного факта, что строители пирамид использовали для отделки своих сооружений с внешней стороны дорогостоящий облицовочный камень, к примеру белый турский известняк или гранит. Внутри они использовали более дешевые материалы: низкокачественный мокаттамский известняк, саманный кирпич и щебенку. Поэтому для них имело смысл всячески снижать количество каменной облицовки. Какой формы должна быть пирамида, если фараон желает, чтобы при заданной стоимости облицовочного камня монумент получился как можно больше? То есть какой угол наклона граней пирамиды к основанию позволяет получить максимальный объем при фиксированной суммарной площади четырех треугольных граней?