Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Однако это возможно.

Во-первых, мы должны точно определить, что такое граничная точка. Предположим, у нас имеется некоторая область на плоскости. Необязательно многоугольник, это может быть любая фигура, в том числе очень сложная – вообще любой набор точек. Говорят, что точка лежит в замыкании области, если любой круг ненулевого (пусть сколь угодно малого) радиуса с центром в этой точке содержит некую точку, лежащую в этой области. Говорят, что точка лежит внутри области, если область включает в себя некоторый круг ненулевого радиуса с центром в этой точке. Тогда граница области состоит из всех точек ее замыкания, не лежащих внутри нее.

Поняли? По существу это то, что лежит на краю, но не внутри.

Для области в виде многоугольника, ограниченной набором отрезков прямых, граница состоит из этих отрезков, так что данное нами определение в этом случае вполне соответствует обычным представлениям. Можно доказать, что три и более многоугольных областей не могут иметь одну и ту же границу. Но для более сложных областей это неверно. В 1917 г. японский математик Кунидзё Ёнеяма опубликовал пример трех областей, имеющих одну и ту же границу . Он сказал, что идею таких областей предложил его учитель Такео Вада. Соответственно, сами области (или аналогичные им) были названы «озерами Вады».

Эти три области строятся шаг за шагом в ходе бесконечного процесса. Начинаем с трех квадратных областей.

Затем расширяем первую область, добавив дорожку, которая обойдет вокруг всех трех областей. Делаем это так, чтобы каждая точка на границе любого из квадратов лежала близко к дорожке. Проследим также, чтобы дорожка не замыкалась сама на себя, оставив дыру в получившейся области.

Затем расширяем вторую область, добавляя к ней более узкую тропку, которая обходит вокруг всех трех областей, построенных до сих пор.

Продолжаем в том же духе, прокладывая еще более узкую тропинку от третьей области. Затем возвращаемся к первой, добавляем к ней еще более узкую тропинку и т. д.

Повторяем это построение бесконечное число раз. Получившиеся области многократно окружены бесконечно сложной сетью бесконечно узких тропинок. Но поскольку с каждым шагом области подходят все ближе ко всему, построенному до того, в конечном итоге все три области имеют одну и ту же (бесконечно сложную) границу.

Первоначально озера Вады были придуманы с целью показать, что топология плоскости не так проста, как можно вообразить. Много лет спустя выяснилось, что такие области возникают сами собой в численных методах решения алгебраических уравнений. К примеру, кубическое уравнение x ³ = 1 имеет лишь одно действительное решение x = 1; кроме того, у него есть два комплексных решения где =√−. Комплексные числа можно представить как точки на плоскости, где число x + i y соответствует точке с координатами ( x, y ).

Стандартный метод нахождения численных аппроксимаций начинается со случайно выбранного комплексного числа; затем особым образом вычисляется второе число, а затем процесс повторяется, пока числа не сблизятся. Результат, полученный таким образом, близок к решению. К какому именно из трех решений он близок, зависит от того, где вы начинаете, и происходит это весьма хитроумным образом. Предположим, мы окрасим точки на комплексной плоскости в соответствии с тем, к какому решению они ведут: пусть, к примеру, это будет серый цвет, если решение x = 1, светло-серый, если решение и темно-серый, если решение Тогда точки, окрашенные в заданный оттенок серого, обозначат область, и можно доказать, что все три области имеют одну и ту же границу .

В отличие от построения Вады, области здесь не являются связными: они разбиваются на бесконечное множество отдельных кусочков. Однако поразительно, что области такой сложности возникают естественно в такой фундаментальной задаче численного анализа.

– Необычайно! – воскликнул я.

Сомс бросил в мою сторону недовольный взгляд, очевидно раздраженный тем, что его прервали, – в тот момент он с упоением копался в своей обширной коллекции гипсовых отпечатков беличьих следов.

– Ответ кажется очевидным, но тем не менее, судя по всему, неверен! – воскликнул я.

– С очевидным это бывает, – заметил Сомс. – В смысле, оказывается неверным, – добавил он тоном пояснения.

– Слышали когда-нибудь о Джан-Франческо Малфатти? – спросил я.

– Убийца с топором?

– Нет, Сомс, это был Фрэнк Макавити по прозвищу Хакер.

– Ах. Мои извинения, Ватсап, вы, разумеется, правы. Я отвлекся. Мой образец следов Ratufa macroura разрушается. Большехвостая гигантская белка.

– Малфатти был итальянским геометром, Сомс. В 1803 г. он заинтересовался вопросом о том, как высечь из клиновидного куска мрамора три цилиндрические колонны так, чтобы максимизировать их суммарный объем. Он предположил, что эта задача эквивалентна тому, чтобы вычертить на треугольном сечении куска мрамора три окружности так, чтобы максимизировать их суммарную площадь.

– Наивное, но, вероятно, верное предположение, – отозвался Сомс. – Хотя колонну, конечно, можно высечь и наискось.

– О-о, я не имел в виду… Но допустим, что его предположение было верным, поскольку вопрос всегда можно нужным образом переформулировать. Малфатти считал очевидным, что решение должно состоять из трех кругов, касающихся друг друга и двух внешних сторон треугольника.