Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– Ох, – пристыженно произнес я. – Значит, это – узор Беатрис.

– Предполагаю, что да. Но не расстраивайтесь: ваш узор принадлежит мисс Мейкпис.

Меня осенило.

– Вы думаете, что из копий одной этой плитки можно сложить все 13 узоров?

– Я в этом уверен. Смотрите: вот так из трех плиток складывается узор миссис Уоттон, равносторонний треугольник с треугольным отверстием.

– Господи, Сомс!

– Это замечательно универсальная… э-э… плитка, – ответил он. – Благодарить за это нужно ее хитрую геометрию.

– Итак, все, что нам нужно сделать… – начал я.

– …это найти варианты раскладки, соответствующие остальным десяти узорам! – закончил за меня Роулейд.

Сомс начал прочищать трубку.

– Я уверен, что смело могу оставить эту задачу вам, джентльмены.

В тот вечер я взял кэб и поехал в дом отца Беатрис, остановившись только у ювелира, чтобы кое-что забрать. Беатрис приняла меня в гостиной.

Я поставил на стол длинную коробочку.

– Дорогая, откройте.

Она несмело протянула руку, и на милом лице ее отразилась надежда.

– О! Джон, вы нашли мою подвеску! – она взяла меня за руку. – Как я могу отблагодарить вас? – внезапно она замолчала. – Но… Это не мое, – она вынула из коробки сверкающую драгоценность. – Это обручальное кольцо.

– Да, это так. И оно может стать вашим, – произнес я, опускаясь на одно колено.

Можете ли вы найти оставшиеся десять вариантов узора? Ответы см. в главе «Загадки разгаданные».

Граф – это набор точек (узлов), соединенных линиями (ребрами). Если граф рисуют на плоскости, ребра часто пересекаются между собой. В 1972 г. Джон Конвей определил трекл как граф, нарисованный на плоскости, у которого любые два ребра либо встречаются в узле и больше не пересекаются, либо не встречаются в узле, но при этом пересекаются ровно один раз. Говорят, что идею названия подал автору один шотландский рыболов, постоянно жаловавшийся на то, что у него запуталась (thrackled) леска.

На рисунке показаны два трекла. Левый имеет в своем составе 5 узлов и 5 ребер, тогда как правый – 6 узлов и 6 ребер. Конвей предположил, что у любого трекла число ребер меньше или равно числу узлов. Он предложил бутылку пива в награду тому, кто сможет это доказать или опровергнуть, но с годами, поскольку решение не появлялось, приз вырос до тысячи долларов.

Оба приведенных трекла представляют собой замкнутые петли (их узлы располагаются на кольцевом маршруте), нарисованные с наложением. Известно, что любая замкнутая петля с n ³ 5 узлов может быть нарисована так, что образует трекл. Если это правда, то число E ребер может быть равно числу n узлов при любом n ³ 5. Пал Эрдёш доказал, что гипотеза о трекле верна для любого графа с прямыми ребрами. Наилучшее на данный момент ограничение на размер E доказали Радослав Фулек и Янош Пач в 2011 г.:

Ссылку на дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Один математик, потративший десять бесплодных лет на попытки доказать гипотезу Римана, решил продать душу дьяволу в обмен на вожделенное доказательство. Дьявол обещал представить ему доказательство не позже чем через неделю, но неделя прошла, и ничего не произошло.

Через год дьявол вновь явился математику с мрачным видом.

– Извини, я тоже не смог это доказать, – сказал он, возвращая математику его душу. Он немного помолчал и вдруг просиял: – Но мне кажется, что я нашел по-настоящему интересную лемму!

Рискуя испортить шутку, я поясню, что в математике лемма – это не слишком важное утверждение, основной интерес которого заключается в том, что оно может стать шагом на пути к доказательству другого, более важного утверждения, достойного звания теоремы. Между теоремой и леммой нет никакой логической разницы, но психологически слово «лемма» означает, что кому-то удалось пройти только часть пути к желанной цели…

Ну, я пошел…

Замостить плоскость без промежутков и перекрытий можно множеством различных фигур. Единственными правильными многоугольниками, с помощью которых можно это проделать, являются равносторонний треугольник, квадрат и шестиугольник.

Кроме них плоскость можно замостить громадным количеством менее правильных фигур, таких как семисторонний многоугольник на следующем рисунке. Он получен из правильного семиугольника путем зеркального отображения трех его сторон относительно линии, соединяющей их концы.

Мощение правильными многоугольниками периодично, то есть его элементы повторяются бесконечно в двух различных направлениях, как узор на обоях. Спиральное мощение не периодично. Однако описанным здесь семиугольником можно замостить плоскость и периодически.

Как именно? Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Существуют ли фигуры, которыми можно замостить плоскость, но нельзя сделать это периодически? Вопрос этот глубоко связан с математической логикой. В 1931 г. Курт Гёдель доказал, что в арифметике существуют неразрешимые задачи, то есть утверждения, для которых никакой алгоритм не в состоянии определить, истинны они или ложны. (Алгоритм – это систематический процесс, который гарантированно прекращается при получении верного ответа.) Из этой теоремы следует другая, более драматичная: в арифметике существуют утверждения, которые невозможно ни доказать, ни опровергнуть.

Приведенный Гёделем пример такого утверждения был несколько надуманным, и специалисты по математической логике долго гадали, существуют ли более естественные нерешаемые проблемы. В 1961 г. Хао Ван работал над проблемой домино: если имеется конечное число фигур для мощения, то существует ли алгоритм, который был бы способен определить, можно ли этими фигурами замостить плоскость? Ван показал, что если существует подходящий набор, которыми можно замостить плоскость, но нельзя замостить ее периодически, то такого алгоритма не существует. Его идея состояла в том, чтобы перевести правила логики в формы плиток и использовать результаты вроде гёделевых. И она сработала: в 1966 г. Роберт Бергер нашел набор из 20 426 таких плиток, доказав тем самым, что проблема домино действительно неразрешима.