Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

– 1–1 – 1–1 – 1…

Сумма первых n членов такой последовательности выглядит так:

– 1–2 – 3–4 – 5…

и убывает до бесконечности. Если посмотреть те же параметры для второй последовательности, получим:

+1–1 – 1 + 1–1…

с суммами

+1 0–1 0 +1…,

которые скачут вверх и вниз.

Предположим, что мы возьмем конкретную, но произвольную последовательность из ±1 и выберем произвольное положительное число С , которое мы хотим получить. Это число может быть сколь угодно большим, например миллиардом. Эрдёш задал вопрос, всегда ли существует такое число d , что суммы членов последовательности, разделенных d шагами, то есть стоящих на позициях d , 2 d , 3 d и т. д., на каком-то этапе станут либо больше C , либо меньше – C . После того как эта цель достигнута, та же последовательность может давать дальнейшие суммы, лежащие между C и – C : достаточно хотя бы раз дойти до цели. Однако подходящий шаг d должен существовать для любого целевого C . Разумеется, d зависит от C . То есть, если последовательность имеет вид x 1, x 2, x 3,…, вопрос состоит в том, можем ли мы найти d и k такие, что | x d + x 2 d + x 3 d + … + x kd | > C .

Абсолютная величина суммы слева – это «разброс» подпоследовательности, определяемой величиной шага d ; это мера избытка знаков «+» по сравнению со знаками «–» (или наоборот).

В начале февраля 2014 г. Алексей Лисица и Борис Конев объявили, что ответ на вопрос Эрдёша – «да», если C = 2. В самом деле, если выбрать подпоследовательность с шагом d из первых 1161 члена произвольной ±1-последовательности и взять подходящую длину k , то абсолютная величина суммы превысит C = 2. Их доказательство получено с активным использованием компьютера, а файл данных занимает 13 Гб. Это больше, чем все содержание Википедии, объем которой около 10 Гб. Несомненно, это одно из самых длинных доказательств в истории математики, слишком длинное, чтобы человеческий разум мог самостоятельно его проверить.

В настоящее время Лисица занимается поиском доказательства для C = 3, но компьютер еще не завершил своих расчетов. Мысль о том, что полное решение требует понимания того, что происходит при любом выборе C , отрезвляет. Надежда только на то, что компьютерные решения для маленьких C натолкнут ученых на какую-нибудь новую идею, которую математик сможет обратить в общее доказательство. С другой стороны, может оказаться, что ответ на вопрос Эрдёша – «нет». Если это так, то где-то существует по-настоящему интересная последовательность из +1 и –1, которая ждет своего определения.

Хотя дедуктивные способности моего друга направлены в основном на искоренение преступности, время от времени они находят приложение и на службе науки. Одним таким примером был уникальный поиск, который мы провели осенью 1881 г. по просьбе богатого, но нелюдимого коллекционера древних рукописей. При помощи странички, вырванной из старой записной книжки, фонаря, связки отмычек и большого лома мы с Сомсом отыскали громадный камень и сдвинули его рычагом, открыв тем самым спиральную лестницу, ведущую вниз, в тайную комнату, расположенную глубоко под библиотекой знаменитого европейского университета.

Сомс сверился с потрепанным клочком бумаги, сильно поврежденным огнем и водой.

– Потерянная книга картонариев, – объяснил он.

– Опять! – он, помнится, упоминал мельком это название в ходе расследования, связанного с приключениями картонных коробок, но не сказал тогда ничего конкретного. Теперь же я настоял на подробностях.

– Это название означает «производители картона». Это итальянское тайное общество, организованное по типу франкмасонов и преданное делу национализма; его участники были замешаны в неудавшейся революции 1820 г.

– Я помню саму революцию очень ясно, Сомс. А вот организацию эту не помню.

– Мало кто вообще знает о ее тайной деятельности, – он вновь сверился с клочком бумаги. – Эта страница почти не читается, но не нужно быть особым знатоком высшей математики, чтобы распознать на ней какую-то разновидность шифра Фибоначчи, переписанного зеркальным письмом да Винчи и превращенного в последовательность рациональных точек на эллиптической кривой.

– Это поймет даже ребенок, – солгал я, цедя слова сквозь зубы.

– Вот именно. Теперь, если я правильно читаю эти руны, мы найдем то, что ищем, где-то на этих полках.

Мгновение спустя я спросил:

– Сомс, но что же мы ищем? Вы на этот раз совсем не хотите раскрывать карты, это для вас необычно.

– В этом знании скрываются великие опасности, Ватсап. Я не видел нужды подставлять вас раньше времени. Но теперь, когда мы проникли в святая святых… А! Вот он! – и он вытащил откуда-то свиток, в котором я сразу же узнал написанный на пергаменте кодекс, и сдул накопившуюся за столетия пыль.

– Что это такое, черт побери, Сомс?

– Армейский револьвер у вас при себе?

– Никогда не хожу без него.

– Тогда можно без опаски сказать вам, что в моих руках сейчас… палимпсест Архимеда!

– Ах!

Я вообще-то знал, что палимпсест – это документ, который записали на пергаменте, а затем тщательно соскребли, чтобы освободить место для другой записи, и что ученым удается, хотя и не без труда, реконструировать и прочесть то, что было стерто, восстанавливая таким образом, к примеру, неизвестное прежде Евангелие, скрытое под списком белья, отданного в стирку в каком-то заштатном монастыре XIV в. Архимеда я тоже знал как талантливейшего древнегреческого геометра. Таким образом, было очевидно, что Сомсу удалось откопать прежде неизвестный математический текст. Но он настаивал, что нам следует немедленно убраться из хранилища, пока на нас не обрушилось отмщение инквизиции.

Оказавшись вновь в относительной безопасности нашего дома на Бейкер-стрит, мы как следует рассмотрели добытый документ.

– Это византийский список X в. неизвестного до сих пор труда Архимеда, – сказал Сомс. – Его заголовок можно достаточно вольно перевести как «Метод»: речь в нем идет о знаменитом труде этого геометра, посвященном объему и площади поверхности шара. В нем показано, как автор пришел к таким результатам, и можно практически заглянуть в его мысли – беспрецедентный случай.

От изумления я лишился речи и напоминал, наверное, вытащенную из воды золотую рыбку.

– Архимед открыл, что если шар вписан в подходящий цилиндр, то объем шара составляет в точности две трети от объема цилиндра, а площадь его поверхности в точности равна площади криволинейной поверхности этого цилиндра. На современном языке это означает, что если радиус шара равен r , то его объем равен а площадь поверхности – 4 πr ².