Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

А как насчет суммы четырех кубов?

В том же 1770 г. Эдвард Уоринг заявил без доказательства, что любое положительное целое число есть сумма не более чем 9 кубов и 19 четвертых степеней, и задал вопрос, можно ли утверждать что-то подобное о более высоких степенях. То есть для заданного числа k существует ли некий конечный предел количества k степеней, необходимых для выражения любого положительного целого числа в виде их суммы? В 1909 г. Давид Гильберт доказал, что ответ на этот вопрос – «да». (Нечетные степени отрицательных чисел отрицательны, и это сильно меняет правила игры, так что пока мы ограничиваемся только степенями положительных чисел.)

Число 23 определенно требует 9 кубов. Единственные возможные слагаемые здесь – 8, 1 и 0, и лучшее, что можно сделать, – это сложить две восьмерки и семь единиц:

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

Таким образом, в общем правиле кубов не может быть меньше 9. Однако это число можно и уменьшить, если согласиться на конечное число исключений. К примеру, в реальности 9 кубов требуется только для чисел 23 и 239; все остальные можно получить с использованием не более чем 8 кубов. Юрий Линник снизил это число до 7, допустив еще несколько исключений, и сегодня считается, что правильный ответ, допускающий конечное число исключений, – это 4. Наибольшее известное число, для записи которого необходимо больше 4 кубов, – это 7 373 170 279 850, и предполагается, что более крупных чисел с таким свойством не существует. Так что очень возможно – но пока вопрос остается открытым, – что любое достаточно большое положительное целое число есть сумма четырех положительных кубов.

Но, как я уже сказал, куб отрицательного числа отрицателен. Это порождает новые возможности, отсутствующие у четных степеней. Так,

23 = 27 – 1–1 – 1–1 = 3³ + (–1)³ + (–1)³ + (–1)³ + (–1)³,

то есть достаточно 5 кубов, тогда как в случае только положительных или нулевых кубов требуется 9, как мы только что видели. Но можно и еще улучшить результат: 23 можно выразить с использованием всего 4 кубов:

23 = 512 + 512 – 1 – 1000 = 8³ + 8³ + (–1)³ + (–10)³.

Разрешение на использование отрицательных чисел означает, что используемые кубы могут быть намного больше (если не обращать внимания на знак «–») самого числа. В качестве примера покажем, что число 30 можно записать в виде суммы 3 кубов, но придется постараться:

30 = 2 220 422 932³ + (–283 059 965)³ + (–2 218 888 517)³.

То есть мы не можем систематически просмотреть ограниченное число вариантов, как в случае, когда рассматриваем только положительные кубы.

Эксперименты привели нескольких математиков к гипотезе о том, что всякое целое число есть сумма 4 (положительных или отрицательных) целых кубов. Пока истинность этого утверждения окончательно не установлена, хотя свидетельств в его пользу хватает. Компьютерные расчеты подтверждают, что любое положительное целое число вплоть до 10 млн есть сумма 4 кубов. В. Демьяненко доказал, что любое число, которое нельзя представить в виде 9 k ± 4, всегда представимо как сумма 4 кубов.

У леопардов есть пятна, у тигров – полосы, а львы щеголяют ровным цветом. Почему? Все эти варианты кажутся какими-то случайными, как будто на распродаже из списка в «Каталоге больших кошек» эволюция выбирает для каждой самый красивый вариант окраски шкуры. Но накопилось уже немало свидетельств в пользу того, что дело обстоит совершенно иначе. Уильям Аллен с коллегами исследовал, как математические правила, определяющие узоры и орнаменты, соотносятся с кошачьими привычками и средой обитания и как это влияет на эволюцию расцветок.

Самая очевидная причина обзавестись разноцветной шкурой – маскировка. Если кошка живет в лесу, пятна или полосы сделают ее малозаметной среди теней и световых пятен. Напротив, кошек, которые обитают на открытом месте, было бы видно лучше, если бы у них на шкуре был яркий рисунок. Однако теории такого рода не намного лучше простых сказок, если их невозможно подтвердить реальными данными. Экспериментальная проверка затруднительна: представьте, что вы хотите закрашивать полоски на тиграх на протяжении нескольких поколений или снабдить тигров и их потомство гладкой шкурой, чтобы посмотреть, что из этого получится. Альтернативных теорий сколько угодно: может быть, рисунок на шкуре привлекает партнера – или просто связан естественным образом с размерами животного.

Математическая модель кошачьей раскраски дает возможность проверить теорию маскировки. Некоторые расцветки, такие как леопардовые пятна, очень сложны, причем сложны по такому типу, который тесно связан с маскировочной ценностью окраски. Поэтому исследователи классифицировали варианты окраски с использованием математической схемы, придуманной Аланом Тьюрингом; согласно этой схеме рисунок определяется химическими веществами, которые реагируют между собой и расплываются по поверхности развивающегося зародыша.

Эти процессы можно характеризовать конкретными числами, определяющими скорость диффузии и тип реакции. Эти числа действуют как координаты в «пространстве маскировки» – множестве всех возможных узоров, подобно тому как широта и долгота дают координаты на поверхности Земли.

Исследователи соотносят эти числа с наблюдаемыми данными у 35 различных видов кошачьих: какой ландшафт эти кошки предпочитают, что едят, охотятся днем или ночью. Статистические методы выявили значимую связь между этими переменными и узорами на кошачьих шкурах. Результаты показывают, что узоры тесно связаны с закрытыми ландшафтами, такими как лес. Животные открытых пространств, таких как саванны, с большей вероятностью имеют гладкую шкуру, как львы. Если нет, то узор на шкуре обычно несложен. А вот животные, которые много времени проводят на деревьях, как леопарды, с большей вероятностью имеют узорчатые шкуры. Более того, их узоры, как правило, сложны – это не просто пятна или полосы. Этот метод объясняет также, почему черные леопарды (так называемые пантеры) встречаются достаточно часто, а вот черных гепардов не бывает.

Данные откровенно противоречат некоторым теориям, альтернативным маскировочной. Размеры кошек и размеры их добычи мало влияют на расцветку. Кошки, ведущие общественный образ жизни, с той же вероятностью оказываются узорчатыми или гладко окрашенными, как и кошки-одиночки, так что отметки на шкуре, вероятно, не имеют ценности в качестве социальных сигналов. Исследование не доказывает, что отметки на шкурах появились в процессе эволюции только ради маскировки, но позволяет предположить, что маскировка сыграла здесь ключевую эволюционную роль.