Иэн Стюарт - Математические головоломки профессора Стюарта

Львы окрашены ровно, потому что гуляют по открытым равнинам. Леопарды пятнисты, потому что такой рисунок труднее заметить в лесу.

Дополнительную информацию см. в главе «Загадки разгаданные».

Вот вам тест на геометрическую и аналитическую интуицию. Начните с окружности единичного радиуса. Нарисуйте вокруг нее равносторонний треугольник, который будет как можно плотнее ее охватывать (то есть описанный равносторонний треугольник); затем нарисуйте вокруг него плотно охватывающую (описанную) окружность. Повторите процесс, только вместо треугольника используйте на очередном шаге квадрат, правильный пятиугольник, правильный шестиугольник и т. д.

Если этот процесс будет продолжаться до бесконечности, то станет ли ваш рисунок сколь угодно большим или навсегда останется в пределах какой-то ограниченной области на плоскости?

Ответ см. в главе «Загадки разгаданные».

Где-то в 1930-е гг. один русский профессор математики вел семинар по гидродинамике. Среди постоянных участников семинара были двое, приходившие всегда в форме; очевидно, это были военные инженеры. Они никогда не рассказывали о проекте, над которым работали, поскольку он, судя по всему, был секретным. Но однажды они попросили профессора помочь им с решением одной математической задачи. Решение некоего уравнения приводило к колебательному процессу, и они хотели узнать, как нужно изменить коэффициенты, чтобы сделать решение стабильным.

Профессор посмотрел на уравнение и сказал: «Сделайте крылья длиннее».

Я нередко поражаюсь способности Сомса находить закономерности в самых неподходящих для этого обстоятельствах. Невозможно подобрать лучшего примера, чем история, имевшая место ранней весной 1877 г.

Когда, направляясь к дому Сомса, я проходил через Равносторонний парк, на дорожках плясали пестрые пятна света и теней, которые свежеотчеканенное солнышко бросало сквозь кружевные пухлые облака, а живые изгороди звенели птичьими песнями. В такой великолепный день казалось просто неприличным оставаться дома, но все мои усилия оторвать моего друга от каталогизации полной коллекции использованных спичек встретили с его стороны лишь равнодушие.

– Нередко исход дела зависит от того, сколько времени горела спичка, Ватсап, – недовольно проворчал он, занося в блокнот какой-то очередной размер, снятый с циркуля.

Разочарованный, я раскрыл газету на спортивной странице, и мой глаз сразу же выхватил своевременное напоминание о событии, которое даже Сомс вряд ли хотел бы пропустить. У меня же оно совершенно выскочило из головы, вытесненное жужжанием пчел и цветением деревьев. Меньше чем через час мы уже сидели на берегу реки с корзинкой ленча и несколькими бутылками вполне приличного бургундского и ждали начала ежегодной гонки.

– За кого вы болеете, Сомс?

Он прекратил измерение длины сгоревшей части раннешотландской безопасной спички – Сомс настоял на том, чтобы взять некоторое количество спичек с собой, чтобы было чем заняться.

– За голубых.

– Темных или светлых?

– Да, конечно, – загадочно ответил он.

– Я имею в виду, за Оксфорд или за Кембридж?

– Да, – он покачал головой. – За кого-то из них. Переменных слишком много, и они слишком сложные, чтобы предсказать успех, Ватсап.

– Сомс, я спрашивал, за кого вы болеете, а не просил предсказать победителя.

Он бросил на меня уничтожающий взгляд.

– Ватсап, с какой стати я должен болеть за людей, с которыми даже не знаком?

Когда на Сомса нападает хандра, тому всегда есть причина. Я заметил, что он выкладывает из спичек нечто, напоминающее рыбий скелет, и спросил, в чем дело.

– Я вот смотрю, как распределяются весла на лодках, и мне интересно, почему стало традиционным такое неэффективное их расположение.

Я перевел взгляд на Темзу, где две лодки как раз занимали места на стартовой линии перед ежегодной Университетской гонкой.

– Традиция часто неэффективна, – поучающе заметил я, – поскольку суть ее заключается в том, чтобы делать все точно так, как делалось всегда, а не задаваться вопросом, как сделать лучше всего. Но я не вижу здесь никакой неэффективности. Восемь гребцов, и весла обращены по очереди то на правую сторону, то на левую. Такая лодка называется распашной, и ее устройство представляется мне симметричным и разумным.

Сомс недовольно хмыкнул.

– Симметричной? Тьфу! Вовсе нет. Все весла одного борта расположены впереди по отношению к веслам другого борта. Разумной? Когда гребцы налегают на весла, асимметрия создает крутящую силу, которая заставляет лодку отклоняться в одну сторону.

– Но именно поэтому, Сомс, на лодке есть рулевой. Который направляет лодку при помощи руля.

– Который порождает сопротивление поступательному движению лодки.

– Ах! Но как еще можно расположить весла? Невозможно ведь посадить двух гребцов рядом, бок о бок.

– Существует 68 вариантов, Ватсап; 34, если считать зеркально симметричные варианты одинаковыми. Кстати говоря, наши немецкие и итальянские друзья пользуются другими схемами расположения весел, – он выложил перед собой из спичек две скелетообразные схемы.

Я в недоумении уставился на них.

– Но ведь такие странные варианты расположения весел наверняка страдают от еще бо́льших проблем!

– Возможно. Давайте посмотрим, – он поджал губы и погрузился в размышления. – В этом деле бесчисленное количество практических вопросов, Ватсап, которые требуют более сложного анализа. Не говоря уже о том, что у меня не хватит спичек. Поэтому я ограничусь простейшей моделью, какую смогу придумать, и буду надеяться, что она подскажет мне что-нибудь полезное. Предупреждаю заранее, что результаты будут не слишком определенными.

– Достаточно справедливо, – сказал я.

– Теперь рассмотрим одно отдельно взятое весло и рассчитаем силы, действующие на уключину, в которой оно вращается, в ходе той фазы гребка, когда весло находится в воде. Для простоты я буду считать, что все гребцы обладают одинаковой силой и гребут с идеальной синхронностью, так что прикладывают одинаковую силу F в любой заданный момент. Затем я раскладываю эту силу на компоненты P (параллельный оси лодки) и R (направленный к ней под прямым углом).